Teorema dell'intorno tubolare
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In geometria, il teorema dell'intorno tubolare è un importante strumento della topologia differenziale, utile in presenza di una varietà differenziabile contenuta in un'altra varietà di dimensione più grande. Si tratta di uno dei primi risultati topologici in cui è necessaria la struttura differenziabile: il teorema può non essere valido infatti nell'ambito delle varietà topologiche.
Indice |
[modifica] Enunciato
Sia M una varietà differenziabile di dimensione n e 
una sottovarietà differenziabile compatta di dimensione n − k. Esiste un intorno aperto T di M diffeomorfo ad un fibrato su M, con fibra omeomorfa ad una palla
in cui M giace come la sezione nulla.
Tale intorno viene detto intorno tubolare di N in M. L'intorno è unico a meno di isotopia in M (e quindi in particolare a meno di diffeomorfismo).
[modifica] Il fibrato
[modifica] Locale e globale
Localmente, l'intorno tubolare è del tipo 
, dove U è un aperto di N, e N giace come 
. Come in ogni fibrato, il fatto che sia localmente un prodotto non garantisce che lo sia anche globalmente.
Ad esempio, l'intorno tubolare di una curva semplice chiusa in una superficie è un fibrato, la cui fibra è un intervallo B1 = ( − 1,1). Globalmente, l'intorno tubolare può essere omeomorfo ad un prodotto 
, cioè un anello, oppure ad un nastro di Möbius.
[modifica] Codimensione uno
Nel caso in cui M sia orientabile e N abbia codimensione k = 1, l'intorno tubolare T è determinato a meno di diffeomorfismo da N. Se N è anch'essa orientabile, T è diffeomorfo al prodotto 
. In generale, T è l'unico fibrato orientabile con fibra ( − 1,1) e base N.
[modifica] Retratto di deformazione
La sottovarietà N è sempre un retratto di deformazione forte del suo intorno tubolare T. In particolare, N e T sono omotopicamente equivalenti.
[modifica] Voci correlate
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica
