Teorema dell'infinità dei numeri primi
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Il teorema dell'infinità dei numeri primi esprime il fatto che, per quanto grande si scelga un numero naturale N, esiste sempre un numero primo maggiore di N. Riportiamo due famose dimostrazioni di questo teorema, una dovuta a Euclide (ca 300AC) una dovuta a Eulero, circa duemila anni dopo.
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[modifica] Dimostrazione di Euclide
La dimostrazione, molto semplice in termini moderni, è esposta negli Elementi di Euclide e può a buon diritto essere considerata la prima dimostrazione di un teorema di teoria dei numeri.
La dimostrazione avviene per assurdo, con il seguente ragionamento:
Si supponga che i numeri primi non siano infiniti ma solo n: 2, 3, ..., pn; pn sarebbe allora il più grande dei numeri primi. Ora sia r il prodotto degli n numeri primi, e consideriamo r + 1. Questo numero non è divisibile per 2, perché lo è r e quindi ha resto 1. Non è divisibile neanche per 3, per lo stesso motivo. In generale, detto pi l'i-esimo numero primo, la divisione (r + 1)/pi ha sempre resto 1.
A questo punto, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, sono possibili due casi:
1. o r + 1 è primo, e ovviamente essendo maggiore di pn quest'ultimo non è il più grande dei numeri primi;
2. oppure, non essendo primo, è il prodotto di numeri primi che non possono figurare tra gli n ipotizzati e che devono quindi essere maggiori di pn; anche in questo caso segue che quest'ultimo non è il più grande dei numeri primi.
In entrambi i casi si perviene alla conclusione che non può non esistere un numero primo più grande pn e dunque i numeri primi sono infiniti.
In realtà, solo pochi dei numeri r + 1 (detti numeri di Euclide) così trovati sono primi, perché il divario tra pn e r cresce circa come il fattoriale, e quindi c'è sempre più possibilità che r + 1 abbia un divisore tra pn e 
.
Una conseguenza immediata di questa dimostrazione è la seguente disuguaglianza:
La disuguaglianza di Bonse e le sue generalizzazioni forniscono risultati più forti.
[modifica] Corollario
Un interessante corollario, che è evidente rigirando la dimostrazione, è che esiste un intervallo, grande a piacere, tra successivi numeri primi. Infatti se vogliamo avere un intervallo di 99 numeri consecutivi senza primi, ad esempio, prendiamo il fattoriale di 100, ossia 100!. Questo numero, enorme, è divisibile per tutti i numeri tra 2 e 100. Se chiamiamo k uno di questi numeri, 100! e 100!+k sono entrambi divisibili per k. Abbiamo quindi 99 numeri consecutivi senza primi, da 100!+2 a 100!+100.
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Per approfondire, vedi la voce primo fattoriale. |
[modifica] Dimostrazione di Eulero
La dimostrazione di Eulero parte dal fatto che la serie armonica:
è divergente.
Eulero osserva che la serie armonica può vedersi come il prodotto di queste serie geometriche, una per ogni numero primo:
...
Le serie si calcolano facilmente ricordando che 
(vedi serie geometrica)
Infatti la serie armonica è la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali e ogni numero naturale può rappresentarsi come il prodotto dei suoi fattori primi. Ci si convince allora facilmente che ogni elemento della serie armonica corrisponde a un possibile prodotto di elementi presi uno ad uno dalle serie suddette. P.es. per l'elemento 1/15:
D'altra parte le serie S2,S3,S5,S7... sono tutte finite. Ma allora se i numeri primi fossero finiti, il loro prodotto sarebbe anch'esso finito, mentre sappiamo che la serie armonica diverge.
Ne segue che i numeri primi devono essere infiniti.
[modifica] Voci correlate
- Crivello di Eratostene
- Euclide
- Eulero
- Numero primo
- Piccolo teorema di Fermat
- Serie geometrica
- Serie geometrica con termine generale frazionario
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