Tangente (geometria)
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In geometria piana, una linea retta è detta tangente ad una curva in un punto, se sia la retta che la curva passano in quel punto seguendo la stessa direzione. La curva nel punto P ha la stessa inclinazione della tangente nel punto P. Il punto di tangenza è posto in modo tale che la distanza fra la linea retta e la curva nell'intorno infinitesimale del punto di tangenza, si esprime con termini algebrici di grado superiore al primo, il primo dei quali non nullo é di ordine pari.
La retta tangente esprime la approssimazione di primo grado della funzione considerata, e puó quindi essere utilizzata per stimare le piccole variazioni della stessa nell'intorno del punto di tangenza.
In una geometria a più dimensioni, si può definire il piano tangente ad una superficie in modo simile.
[modifica] Calcolo infinitesimale
La definizione "formale" di tangente si ricava tramite il calcolo infinitesimale.
Posto che una curva sia il grafico di una funzione y = f(x) e che siamo interessati al suo punto (x0,y0), dove y0=f(x0). Diremo che la curva ha una tangente non verticale nel punto (x0,y0) se e solo se la funzione è derivabile in x0. In questo caso il coefficiente angolare della tangente è dato da f'(x0). Si ha una tangente verticale se e solo se la curva raggiunge l'altezza di più o meno infinito.
Una secante può essere usata per descrivere in modo approssimato la tangente. La pendenza della secante si avvicina a quella della curva man mano che i punti di intersezione si avvicinano tra loro.
L'equazione della tangente ad una curva in un punto (x0,y0) è data dalla formula:
- (y − y0) = f'(x0)(x − x0).
La stessa formula può essere scritta nella seguente notazione, dove la variabile m rappresenta il coefficiente angolare della funzione.
- (y − y0) = m(x − x0).
Se la derivata prima non è nulla e pari, la curva descritta dalla funzione rimane in uno solo dei due semipiani ottenuti dividendo il piano con la linea tangente, in un intorno finito e non infinitesimale del punto di tangenza.
Se la tangente tocca la curva in un punto e la derivata seconda della funzione nel punto è nulla, mentre non lo è la derivata terza, la tangente è una tangente d'inflessione, trattandosi di una tangente in un punto di flesso della funzione. La stessa definizione si puó applicare se tutte le derivate sono nulle fino a una derivata dispari non nulla. Nel caso di una tangente d'inflessione, esiste un intorno finito del punto di tangenza nel quale la curva attraversa la tangente e permane ai due lati opposti della stessa.
[modifica] Voci correlate
- Derivata
- Normale alla curva
- Normale alla superficie
- Tangenza tra coniche
- Tangenza tra quadriche
- Trasversalità
[modifica] Collegamenti esterni
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