Problema a molti corpi

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Si definisce in meccanica quantistica come problema a molti corpi la difficoltà di poter trovare una soluzione esatta alla equazione di Schrödinger per sistemi quantistici contenenti in azione molti corpi/particelle interagenti, anche solo due. Esso è abbastanza generale alla fisica, investendo sia la fisica atomica (atomi contenenti più di un elettrone, dall'atomo di elio in su), la fisica molecolare, la fisica dello stato solido e più in generale la fisica della materia condensata; infine anche la fisica nucleare, dove i corpi in gioco sono i costituenti elementari del nucleo.

Varie teorie per risolvere il problema a molti corpi sono state proposte dagli anni 20 a oggi. Fra queste citiamo la teoria Hartree-Fock, sviluppatasi poi nell'interazione di configurazione; la teoria di Thomas-Fermi; la teoria quantistica di campo a molti corpi, detta anche teoria perturbativa a molti corpi o ancora, teoria delle funzioni di Green; la teoria del funzionale della densità, una evoluzione del Thomas-Fermi, è anche da considerarsi come una teoria che risolve il problema a molti corpi, ma limitatamente allo stato fondamentale.

[modifica] Formulazione del problema

In sistemi contenenti una sola particella come ad esempio l'atomo di Idrogeno o gli atomi Idrogenoidi, la risoluzione esatta della equazione di Schrödinger è relativamente semplice. Anche in sistemi contenenti molte particelle non interagenti, il problema si semplifica. Infatti, l'Hamiltoniana del sistema a molti corpi si può fattorizzare (scrivere come una somma) di N Hamiltoniane di singola particella, dove N è il numero totale di particelle implicate,

$H = \sum_{n=1}^N - \frac{1}{2} \partial^2_{r_n} + \sum_{n=1}^N v(r_n) = \sum_{n=1}^N h(r_n), \qquad h(r) = - \frac{1}{2} \partial^2_{r} + v(r).$

Una volta risolta l'equazione di Schrödinger per l'Hamiltoniana di singola particella e trovate le funzioni d'onda e i livelli energetici di singola particella (autofunzioni e autovalori dell'Hamiltoniana di singola particella)

$h (r)ψ i (r) = ε i ψ i (r)$

si può quindi procedere a costruire la funzione d'onda dello stato fondamentale del sistema a molte particelle. Essa infatti sarà data dal prodotto opportunamente simmetrizzato o antisimmetrizzato (a seconda della statistica bosonica o fermionica delle particelle implicate, ovvero se le particelle sono bosoni o fermioni) delle prime N autofunzioni d'onda di singola particella, corrispondenti agli N livelli di singola particella a più bassa energia.

$\Psi_0(r_1,\ldots,r_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} (\pm 1)^P P\{\psi_i(r_n)\}, \qquad i=1,\ldots,N \quad n=1,\ldots,N$

Dove P è un operatore di permutazione. L'energia totale di stato fondamentale del sistema sarà infine data dalla somma delle N più basse energie di singola particella.

$E_0 = \sum_{n=1}^N \epsilon_n$

In sistemi contenenti molte particelle interagenti, purtroppo, l'Hamiltoniana non è fattorizzabile in N Hamiltoniane di singola particella a causa del termine di interazione fre le particelle (che sia essa una interazione a due corpi alla volta, a tre o a più),

$H = \sum_{n=1}^N - \frac{1}{2} \partial^2_{r_n} + \sum_{n=1}^N v(r_n) + \sum_{n \ne m=1}^N w(r_n,r_m).$

Il problema a molti corpi è presente già al livello di un sistema a due particelle, quale ad esempio l'atomo di elio. Diventa via via più complesso negli atomi più pesanti, nelle molecole, fino a diventare un problema formidabile nei solidi, dove il numero di particelle implicate è dell'ordine del numero di Avogadro, $1023$ .