Potenziale magnetico

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Poiché condizione necessaria perché un campo vettoriale sia conservativo è che il campo sia irrotazionale, cioè che il rotore applicato al campo vettoriale sia nullo ovunque, il campo magnetico non è conservativo. Tuttavia il fatto che la densità di corrente è diversa da zero solo in porzioni assai limitate nello spazio, in particolare solo sui conduttori, ci induce a pensare che possa comunque esistere una funzione potenziale scalare che per cui il rotore del campo magnetico sia nullo e in modo che si possa calcolarlo tramite un gradiente. In effetti tale funzione scalare esiste. Più generale e più utile è ricavare un potenziale vettoriale, cioè tale che il rotore di questo potenziale ci dia il rotore del campo magnetico.

[modifica] Potenziale scalare

Esiste un potenziale scalare magnetico $ψ$ se e solo se il campo magnetostatico è irrotazionale in un dominio semplicemente connesso.

Sappiamo che però il campo magnetico non è irrotazionale ovunque, ma solo lontano dallo spazio in cui sono presenti i conduttori. In questo caso e solo in questo caso, esiste un potenziale scalare magnetico, tale che:

$\vec B_0 = - \vec \nabla \psi$

Possiamo ricavare questo potenziale, utilizzando la legge di Ampere, lontano dallo spazio in cui sono presenti correnti:

$\oint \vec B_0 \cdot d\vec l = 0$

o equivalentemente:

$\vec B_0 \cdot d\vec l = - \nabla \psi \cdot d\vec l$

nella quale sostituendo la legge di Biot-Savart e integrando:

$\psi = - \frac {\mu_0 \ I}{4\pi} \Omega + cost$

dove la costante può essere posta a zero. $Ω$ è l'angolo solido creato dal cono con vertice nel punto ove si vuole calcolare il potenziale. Ciò significa che il campo magnetostatico lontano dallo spazio in cui sono presenti correnti:

$\vec B_0 = \frac {\mu_0 \ I}{4\pi} \vec \nabla \Omega$

Naturalmente questo potenziale non è abbastanza generale e spesso non troppo utile per il calcolo del poteziale.

[modifica] Potenziale vettore

Chiamiamo potenziale vettore il vettore $\vec A_0(x,y,z)$ tale che sia verificata la relazione:

(1) $\vec B_0(x,y,z) = \vec \nabla \times \vec A_0(x,y,z)$

Dobbiamo far notare che il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria (per esempio chiamiamola $φ$ ); infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

$\vec \nabla \times (\vec A_0 + \vec \nabla \phi) = \vec \nabla \times \vec A_0$

Sfruttiamo questo fatto e calcoliamone la divergenza:

$\vec \nabla \cdot (\vec A_0 + \vec \nabla \phi) = \vec \nabla \cdot \vec A_0 + \vec \nabla \vec \nabla \phi = \vec \nabla \cdot \vec A_0 + \vec \nabla^2 \phi$

e possiamo utilmente scegliere $φ$ in modo tale che:

$\vec \nabla^2 \phi = -\vec \nabla \cdot \vec A_0$

così che la divergenza di $\vec A_0$ sia nulla:

(2) $\vec \nabla \cdot (\vec A_0 + \vec \nabla \phi) = 0$ .

Applichiamo adesso il rotore alla (1):

$\vec \nabla \times \vec B_0 = \vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A_0 = (\vec \nabla \cdot \vec A_0) \cdot \vec \nabla - \vec \nabla^2 \vec A_0 = - \vec \nabla^2 \cdot \vec A_0$

dove nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato la (2). Ricordando la Legge di Ampere:

$\vec \nabla \times \vec B_0 = - \vec \nabla^2 \cdot \vec A_0 = \mu_0 \cdot \vec J$ .

Questo implica che le componenti di $\vec A_0$ verificano l'equazione di Poisson:

$\begin{cases} \nabla^2 \cdot A_{0x} = - \mu_0 \cdot J_x \\ \nabla^2 \cdot A_{0y} = - \mu_0 \cdot J_y \\ \nabla^2 \cdot A_{0z} = - \mu_0 \cdot J_z \end{cases}$

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica, per circuiti di forma qualsiasi:

$\vec A_0 (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r')}{|\Delta \vec r|} dV'$

per circuiti filiformi:

$\vec A_0 (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_{l'} \frac {d\vec l'}{|\Delta \vec r|}$ .

[modifica] Relazioni integrali

Abbiamo visto che esiste un potenziale vettore per il calcolo del campo magnetico, tale che:

$\vec B_0(x,y,z) = \vec \nabla \times \vec A_0(x,y,z)$

La corrispondente relazione integrale tramite il teorema di Stokes, ci dice che l'integrale lungo una qualsiasi linea chiusa e orientata l che sia contorno di una qualsiasi superficie S:

$\int_{S} \vec B_0 \cdot \vec n \cdot dS = \int_S rot \ \vec A_0 \cdot \vec n \cdot dS = \oint_{l} \vec A_0 \cdot d\vec l$

cioè la circuitazione del potenziale vettore lungo qualsiasi linea chiusa è uguale al flusso del campo magnetico concatenato con tale linea.

Inoltre il potenziale vettore deve essere solenoidale, quindi per il teorema del flusso deve essere nullo il flusso calcolato su qualsiasi superficie:

$\int_S \vec a_0 \cdot \vec n \cdot dS = \int_V div \ \vec A_0 \cdot dV = 0$