Partizione di un intervallo

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In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è $I = [a, b]$ la partizione di $I$ è un insieme $\rho=\{t_i\}_{i=0}^{n}$

$\rho = \{t_i\in [a,b]:a=t_0<t_1<\ldots <t_n=b\}$

La partizione dell'intervallo $I$ definisce dei sottointervalli di $I$ :

$I_0 = [t_0,t_1], I_1=[t_1,t_2], \ldots, I_{n-1}=[t_{n-1},t_n]$

L'insieme di questi intervalli è una particolare partizione dell'insieme $[a, b]$ . Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli ( $Δ t i = t i + 1 - t i$ ) non devono necessariamente essere uguali.

[modifica] Ampiezza di una partizione

L'ampiezza (o mesh) della partizione $ρ$ è definita come:

$|\rho|=\max_{1\leq i \leq n}\Delta t_i=\max_{1\leq i \leq n} (t_{i+1}-t_{i})$

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

[modifica] Relazioni tra partizioni

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione $π'$ è più fine di un’altra $π$ se i punti di $π$ sono tutti presenti fra quelli di $π'$ , cioè se:

$\pi\subseteq \pi'.$

Si dice che $π'$ è un raffinamento di $π$ . Inoltre è evidente che se unisco i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con $\left.\ {\pi'} \right \}\pi$ . Ovviamente vale:

$|\rho(\pi')| \leq |\rho(\pi)|$

che giustifica il nome "raffinamento".

[modifica] Esempio

Dato l'intervallo $[0,10]$ una partizione può essere ${0,2,6,10}$ , un raffinamento ${0,1,2,5,6,7,10}$ . L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.