Normalizzazione (matematica)
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La Normalizzazione in matematica consiste nel dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore.
[modifica] Normalizzazione in uno spazio vettoriale
In uno Spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.
Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Suppoiniamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione n e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali. Siamo cioè nel caso in cui gli n vettori componenti dell'insieme
costituiscono una base ortogonale.
Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi n vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma.
(Si Noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare)
ognuno dei vettori ui così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre ognuno di questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme
costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.
[modifica] Applicazioni
[modifica] Trigonometria
In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche Metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:
Si dividono entrambi i membri per
(questa quantità è diversa da zero, a meno che sia a e b siano nulli nel qual caso l'equazione di partenza degenra nel caso banale c = 0
Si ottiene:
Notiamo ora che i due coefficienti e sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo φ. Si ha quindi:
Ora l'equazione iniziale diventa:
Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo (x + φ), e poiché il valore dell'angolo è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito x.
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