Monoide

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Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa un elemento ab, rispettando i seguenti assiomi:

G0) magma :per ogni a, b appartenenti a M, il loro prodotto ab appartiene ancora a M, vale a dire, M è chiuso rispetto al prodotto

G1) Semigruppo. Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale $(a b) c = a (b c)$ .

G2) Esiste in $M$ un elemento neutro $e$ tale che $a e = e a = a$ per ogni $a$ in $M$ .

Si vede subito che l'elemento neutro è univocamente determinato. Infatti se $e$ , $f$ sono entrambi elementi neutri, si ha $f = e f = e$ , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che $e$ è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è $f$ .

Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.

Un elemento $a$ del monoide $M$ si dice invertibile se esiste in $M$ un suo inverso, cioè un elemento $b$ in $M$ tale che $a b = b a = e$ . Se esiste, questo elemento $b$ è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di $a$ . Infatti se $b$ , $c$ sono entrambi inversi di $a$ , si ha $b = b e = b (a c) = (b a) c = e c = c$ , dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che $c$ è un inverso di $a$ , dalla proprietà associativa, dal fatto che $b$ è un inverso di $a$ , e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide $M$ è invertibile, allora $M$ è un gruppo.

Più in generale, sia $M$ un monoide qualsiasi, e sia $G$ l'insieme degli elementi invertibili di $M$ . Intanto, $G$ non è vuoto, perché si vede subito che contiene $e$ . E poi si può vedere che $G$ è un gruppo rispetto alla stessa operazione di $M$ . Il gruppo $G$ viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide $M$ .

Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni f: X → X definite da un insieme in sé stesso, dove il prodotto è dato dalla composizione (fg)(x):= (f o g)(x) = g(f(x)). L'elemento neutro è dato dalla funzione identità id : X → X, id(x):= x. Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.