Discussione:Filtro (matematica)

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	...da fare in Filtro (matematica):	ricarica modifica
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Ho portato qui il testo del doppione, che trasformo in redirect -- BW Insultami 13:24, Mar 7, 2005 (UTC)

[modifica] Testo di filtro (insiemi)

Sia E un insieme qualsiasi. Si dice filtro sull'insieme E una collezione F non vuota di sottoinsiemi di E se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

l’insieme vuoto non appartiene a F;
se A è un sottoinsieme di F e se B è un sottoinsieme che include A, allora anche B è un elemento di F;
se A e B sono sottoinsiemi di F, allora anche la loro intersezione A:cap;B appartiene a F.

Un esempio di filtro è l’insieme degli intorno di un punto dato x in uno spazio topologico. Infatti:

l’insieme vuoto non è un intorno di x;
se A è un intorno di x, anche ogni insieme B che include A è un intorno di x;
se A e B sono intorni di x, anche la loro intersezione è un intorno di x.

Una nozione che, come quella di filtro, concerne solo nozioni sugli insiemi, ma risulta utile per questioni di topologia, è la seguente.

Una famiglia non vuota B di sottoinsiemi di E è chiamata base di filtro su E se sono verificate le due seguenti proprietà:

l’insieme vuoto non appartiene a B;
l’intersezione di due sottoinsiemi qualunque di B contiene un elemento di B.

Questa definizione di base di filtro permette di generalizzare la nozione di limite:

Siano E un insieme qualsiasi, B una base di filtro su E, S uno spazio topologico ed L un punto in S.

Si dice che un’applicazione f: E → S tende a L secondo la base di filtro B, se, quale che sia l’intorno V di L, B contiene un insieme B_V tale che, per ogni x appartenente a B_V, f(x) è elemento di V.

Vedi anche