Diagramma di Feynman

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Teoria dello scattering
Acceleratore di particelle Scattering Bhabha Scattering Brillouin Scattering Mie Effetto Raman Scattering Rayleigh Scattering Rutherford Scattering Thomson Effetto Compton Annichilazione e− e+ Produzione di coppia Teoria dei propagatori Matrice S Regole di Feynman Diagrammi di Feynman Sezione d'urto
Portale e Progetto Fisica

Un diagramma di Feynman è uno strumento inventato dal fisico americano Richard Feynman negli anni 40 per effettuare i calcoli riguardanti scattering nella teoria quantistica dei campi. Le particelle sono rappresentate con delle linee, che possono essere di vario genere in funzione del tipo che particella a cui sono associate. Un punto dove le linee si intersecano è chiamato vertice di interazione, o semplicemente vertice. Le linee si dividono in tre categorie: linee interne (che connettono due vertici), linee entranti (che arrivano "dal passato" ed entrano in un vertice e rappresentano gli stati inizialmente non interagenti) e le linee uscenti (che partono da un vertice e si estendono "al futuro" e rappresentano gli stati finali non interagenti). A volte i diagrammi sono girati e il passato è in basso, e il futuro in alto.

I diagrammi di Feynman sono rappresentazioni pittoriche di un termine delle serie perturbativa dell'ampiezza di scattering per un processo definito dagli stati iniziali e finali. In alcune teorie quantistiche di campo (come la elettrodinamica quantistica), si possono ottenere eccellenti approssimazioni dell'ampiezza di scattering da pochi termini della serie perturbativa, corrispondenti a pochi semplici diagrammi di Feynman con le stesse linee entranti ed uscenti connesse da differenti vertici e linee interne.

I diagrammi di Feynman sono frequentemente confusi con diagrammi spazio-temporali o con immagini delle camere a bolle per la loro similitudine visuale, ma sono cose profondamente diverse. I diagrammi di Feynman sono solamente dei grafi; non c'è il concetto di posizione o spazio, e neanche di tempo a parte la distinzione di linee entranti ed uscenti. Inoltre solo un insieme di diagrammi di Feynman si può dire che rappresenti una data interazione; le particelle non scelgono un particolare diagramma ogni volta che interagiscono.

Indice 1 Come tracciare un diagramma 2 Come interpretare un diagramma 3 Probabilità dell'interazione 4 Note 5 Voci correlate 6 Collegamenti esterni

[modifica] Come tracciare un diagramma

L'idea di fondo del diagramma è di tradurre una interazione in un semplice schema, per permettere una facile comprensione del fenomeno descritto. Questi diagrammi sono composti da segni convenzionali, quali ad esempio linee rette e ondulate, disposte secondo uno schema preciso e con un preciso significato.

Per prima cosa dobbiamo fissare un sistema di riferimento, per poter interpretare correttamente lo schema: abbiamo bisogno, quindi, di un asse temporale e di un asse spaziale; i due assi devono essere orientati, in modo che si sappia quale è il verso crescente del tempo e della posizione. Ovviamente il processo sarà tridimensionale (serviranno, quindi tre coordinate spaziali per trovare la posizione della particella), ma per fissare le idee si considera che il processo sia unidimensionale e che una sola coordinata basti per trovare la posizione della particella.

Uno dei due assi sarà orizzontale e orientato verso destra, mentre l'altro sarà verticale ed orientato verso l'alto: non c'è una precisa convenzione su quale asse sia quello verticale. A volte la posizione è verticale, ma a volte è il tempo ad essere verticale, solo l'uso e l'esperienza permettono di distinguere i due casi.

Il nostro foglio si trasforma allora nello spazio - tempo e le linee che descrivono le particelle si interpretano, allora, come le traiettorie delle particelle. La linea della traiettoria deve essere orientata temporalmente (e questo lo si fa inserendo una freccia sulla linea descrittiva), in modo che si sappia dove la particella parte e dove arriva.

Ogni particella è descritta da una linea differente e diverse particelle sono descritte da diversi tipi di linee:

• il fotone si indica con una linea ondulata¹.
• leptoni, adroni e quark si indicano con linee continue.
• gluoni si indicano con una linea a molla².
• i mediatori dell'interazione debole (bosoni W ⁺ , W ⁻ e Z⁰) si indicano con delle linee tratteggiate

Dato che alcuni tipi di linee servono ad indicare diverse particelle, si usa scrivere il nome della particella vicino alla linea che la rappresenta, inoltre per i gluoni si usa scrivere il colore della particella, come per i quark, inoltre si usa mettere anche un γ vicino ad una linea ondulata, anche se essa rappresenta solo il fotone.

E' molto importante anche l'orientazione temporale della linea, in quanto una linea orientata nel senso crescente dell'asse temporale rappresenta una particella, una linea orientata nel senso contrario di quello dell'asse temporale rappresenta una antiparticella³.

[modifica] Come interpretare un diagramma

Come detto il diagramma rappresenta l'evoluzione temporale e spaziale dell'interazione: ecco un semplice schema per comprendere meglio quello che succede durante una interazione e per capire meglio come interpretare i diagrammi.

In questo caso l'interazione rappresentata è:

ed il diagramma corrispondente è:

I due elettroni si avvicinano l'uno all'altro ed ad un certo istante t uno dei due elettroni emette un fotone, che viene assorbito, dopo un tempo Δt dal secondo elettrone.

In realtà va specificato che questa è una descrizione molto semplificata. Bisogna ricordare che i diagrammi di Feynman sono una descrizione matematica e non fisica della interazione. Le linee che rappresentano gli elettroni ed il fotone non vanno scambiate con traiettorie vere, che in meccanica quantistica perdono di significato, e che lo stesso fotone scambiato non è un fotone reale, ma un fotone virtuale.

Questo è uno degli esempi più semplici, e rappresenta una interazione elettromagnetica, ma ogni tipo di interazione può essere rappresentata (debole, forte...): in generale il tipo di interazione si capisce dal tipo di particelle mediatrici.

Se ci sono solo fotoni allora il processo è elettromagnetico, se ci sono dei gluoni il processo è una interazione forte, se ci sono i bosoni W ⁺ , W ⁻ o Z⁰ allora l'interazione è debole.

Si possono ottenere informazioni sul processo anche dalle particelle in gioco, in particolare i leptoni interagiscono tramite interazioni di tipo elettromagnetico o debole, i neutrini interagiscono solo tramite interazione debole, le altre particelle possono interagire con una qualsiasi interazione possibile, ad esempio il processo:

è una interazione debole, anche se coinvolge degli adroni.

[modifica] Probabilità dell'interazione

Da un diagramma si può avere una informazione sulla probabilità di avere una certa interazione, ecco come si può ottenere il risultato.

Consideriamo ancora il processo:

Il cui diagramma è:

Il processo è di tipo elettromagnetico, in quanto appaiono solo fotoni come particelle mediatrici.

La probabilità che avvenga questo tipo di interazione è:

Le regole per calcolare la probabilità di una certa interazione sono le seguenti:

• Ad ogni vertice si associa una costante di accoppiamento (in effetti è la radice quadrata che si associa ad un vertice) alla particella mediatrice (che dipende, quindi dal tipo di processo che si considera):
  • Per l'interazione elettromagnetica la costante di accoppiamento è la costante di struttura fine ⁴
  • Per l'interazione debole la costante di accoppiamento è la costante di accoppiamento debole
  • Per l'interazione forte la costante di accoppiamento è la costante di accoppiamento forte
• Si moltiplicano le varie costanti di accoppiamento tra di loro e si moltiplica il risultato ad un propagatore, che e`proporzionale a:

dove q è il quadrimpulso della particella⁵ ed m è la massa del mediatore.

A questo punto si deve precisare che la probabilità ottenuta non è esattamente la probabilità che avvenga un processo del tipo:

ma solo che esso avvenga con il diagramma specificato.

Per avere la probabilità complessiva si devono considerare tutti i possibili ed immaginabili diagrammi di Feynman che descrivano lo stesso processo come, ad esempio i seguenti diagrammi del second'ordine⁶:

Usando un po' di fantasia si possono trovare molti altri diagrammi del second'ordine ed ancor più diagrammi del terz'oridne, del quart'ordine e così via.

È chiaro che la probabilità complessiva è data da una somma infinita di termini⁷, ma, almeno per le interazioni elettromagnetiche ed ancor più per le interazioni deboli la probabilità totale si può approssimare con la probabilità dell'interazione del prim'ordine⁸.

[modifica] Note

¹Intuitivamente: il fotone è il quanto di energia del campo elettromagnetico; al comportamento ondulatorio classico di questo campo fa riferimento la rappresentazione diagrammatica dei fotoni.

²Intuitivamente: i gluoni sono i mediatori della forza forte; 'come' nel caso di una molla, l'interazione ad opera dei gluoni tra due particelle sensibili all'interazione forte (ad esempio i quark) aumenta con l'aumentare della loro reciproca distanza.

³Questa rappresentazione ha origine dal fatto che la soluzione dell'equazione di Dirac rappresentante l'antiparticella può essere considerata descrivere una particella che si muove nella direzione decrescente del tempo.

⁴Per il valore delle differenti costanti si veda il riferimento alla voce costante di accoppiamento.

⁵In relatività si definisce quadrimpulso il quadrivettore il cui modulo vale .

⁶L'ordine di un diagramma, nel caso di processi di scattering come quello qui sopra in cui non ci sono fotoni nello stato iniziale o finale, è definito come il numero di coppie vertici di interazione presenti o, equivalentemente, come il numero di fotoni mediatori presenti nel diagramma. Ad ogni coppia di vertici corrisponde un prodotto per la costante di accoppiamento nel calcolo dell'ampiezza di probabilità: se, per esempio, il diagramma contiene due fotoni mediatori, esso conterrà 4 vertici di accoppiamento, per cui la costante di accoppiamento nell'espressione della ampiezza di probabilità sarà al quadrato, da cui l'espressione secondo ordine.

⁷La teoria della rinormalizzazione controlla, attraverso una ridefinizione dei parametri fisici (massa, costanti di accoppiamento etc.), le divergenze che appaiono nei termini dello sviluppo perturbativo. Quando, come nel caso dell'elettrodinamica, il programma di rinormalizzazione ha successo, la teoria torna ad essere predittiva.

⁸ Questa approssimazione non vale per le interazioni forti, fatto che rende difficile la rinormalizzazione della teoria.

[modifica] Voci correlate

• Modello Standard
• Scattering
• Elettrodinamica quantistica
• Propagatore
• Fotoni
• Bosoni
• Bosoni vettore
• Bosoni vettori assiali
• Lista delle particelle

[modifica] Collegamenti esterni

• Feynman Rules.it una introduzione dettagliata ( per studenti universitari) ai diagrammi di Feynman per i campi scalari