Campo finito

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In algebra un campo finito è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.

I campi finiti sono completamente classificati.

Indice 1 Classificazione 2 Classi di resto 3 Costruzione di Fpn 4 Dimostrazione della classificazione 5 Proprietà 5.1 Automorfismi 5.2 Sottocampi 6 I campi finiti più piccoli 7 Voci correlate

[modifica] Classificazione

I campi finiti sono classificati nel modo seguente:

Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un solo campo con pⁿ elementi; questo viene solitamente indicato con F_pⁿ.

Ad esempio, esiste un campo finito F₈ = F_2³ con 8 elementi, mentre non ne esiste nessuno con 6 elementi, perché 6 non è la potenza di un numero primo.

Il campo F_pⁿ, essendo un anello, possiede una caratteristica che vale p.

[modifica] Classi di resto

Per n = 1, il campo F_p è il campo delle classi di resto modulo p, indicato normalmente con Z/_pZ. Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine p.

Per n > 1, il campo F_pⁿ non è però isomorfo all'anello delle classi di resto Z/_pⁿZ: quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo. Il gruppo additivo soggiacente F_pⁿ infatti non è ciclico, ma bensì isomorfo a

[modifica] Costruzione di F_pⁿ

Il campo F_pⁿ è costruito come il campo di spezzamento del polinomio

definito sul campo Z/_pZ.

Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi che spezzano il polinomio in

Le radici r_i sono distinte perché il polinomio p non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale

non è mai nulla. Infine, le radici formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.

[modifica] Dimostrazione della classificazione

La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia K un campo finito.

1. Poiché finito, ha caratteristica non nulla. Poiché è un dominio d'integrità, la caratteristica è un numero primo p.
2. L'elemento 1 genera (additivamente) un sottocampo con p elementi, isomorfo quindi a Z/_pZ. Quindi K è uno spazio vettoriale su questo sottocampo.
3. Poiché K è finito, è uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Quindi contiene pⁿ elementi.
4. L'unicità del campo a meno di isomorfismi segue dall'unicità del campo di spezzamento.

[modifica] Proprietà

[modifica] Automorfismi

Se F è un campo con q = pⁿ elementi, allora

x^q = x

per ogni x in F. Inoltre la mappa

f(x) = x^p

è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine n.

[modifica] Sottocampi

Il campo F_pⁿ contiene una copia di F_p^m se e solo se m divide n.

[modifica] I campi finiti più piccoli

Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine 2, 3 e 4.

F₂:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F₃:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F₄:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

[modifica] Voci correlate

• gruppo finito