Ammortamento a rate costanti (francese)

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L'ammortamento a rate costanti (francese) prevede che le rate siano posticipate e la somma ricevuta dal debitore all'inizio (t = 0) sia il valore di una rendita a rate costanti. Ciascuna rata è composta dalla somma di una quota capitale e di una quota interessi sul capitale residuo: si assume che la quota capitale sia progressivamente crescente con il pagamento delle rate.

Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria che in questo caso equivale a scrivere la seguente:

$(1):S=\sum_{k=1}^{n}C_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{R}{(1+i)^ {(n-k+1)}}$

dove S è il capitale prestato, R è l'importo della rata, i il tasso di interesse nominale del periodo, n il numero di rate. L'indice k scorre dalla prima rata alla n-esima. Da questa formula, noti capitale prestato, tasso di interesse nominale e numero di rate, è possibile calcolare R.

$C k$ corrisponde alla quota capitale della k-esima rata:

$(2): C_k=\frac{R}{(1+i)^ {(n-k+1)}}$

Si desume dalla (1) che tra una quota e la successiva vale la seguente relazione:

$\frac{C_k}{C_{k-1}}=1+i$

Ne deriva che ciascuna quota capitale puo' essere scritta a partire dalla prima quota $C 1$ :

$C k = C k - 1 (i + 1) = ... = C 1 (1 + i) k - 1$ con k= 1,.., n.

Inoltre dalla (2) si ricava facilmente:

$C_n=\frac{R}{1+i}$

dalla quale, utilizzando la relazione tra $C 1$ e $C k$ definita in precedenza, si può ricavare una espressione per $C 1$ in funzione di R:

$C_1=\frac{R}{(1+i)^{n}}$

ne consegue per la quota capitale della rata k-esima:

$C_k=C_1(1+i)^{k-1}=\frac{R}{(1+i)^{n}}(1+i)^{k-1}=\frac{R}{(1+i)^{(n-k+1)}}$ con k= 1, 2,.., n.

A questo punto si può scrivere direttamente la formula per il debito residuo e quella per l'interesse in ciascun periodo k.

$D_k=\sum_{h=k+1}^{n}C_h=R\sum_{h=k+1}^{n}(1+i)^{-(n-h+1)}=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n-k}}]$ con k= 1, 2,.., n - 1

$I_k=R-C_k=R-\frac{R}{(1+i)^{(n-k+1)}}=R[1-\frac{1}{(1+i)^{(n-k+1)}}]$ con k= 1, 2,.., n.

Notare che in ogni periodo vale

$\displaystyle R=C_k+iD_{k-1}$ con k= 1, 2,.., n.

Dalla precedente formula risulta che la rata $R$ è sempre la somma della quota capitale del periodo $k$ , cioè $C k$ , più gli interessi sul debito residuo del periodo precedente, cioè $i D k - 1$ . La formula (2) della quota capitale $C h$ si ricava infatti risolvendo

$C_k=R-iD_{k-1}=R-iC+i\sum^{k-1}_{h=1}C_h$