Weierstrass tétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Weierstrass tétele a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rⁿ-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.

Tartalomjegyzék

1 A tétel
2 Bizonyítás sorozatkompaktsággal
- 2.1 Bolzano–Weierstrass-tétellel
3 További bizonyítások
- 3.1 1. A korlátosság igazolása
  - 3.1.1 Heine–Borel-tétellel
  - 3.1.2 A felsőhatár axiómával
- 3.2 2. A szélsőértéktétel
  - 3.2.1 Az értékkészlet szuprémumtulajdonságával
4 Következmény
5 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A tétel

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Tehát, ha $[a, b]$ korlátos és zárt és $f$ : $[a, b$ ] $\rightarrow$ R folytonos függvény, akkor létezik olyan $p$ , $q$ ∈ $[a, b]$ , hogy minden $x$ ∈ $[a, b]$ -re $f$ $(p)$ ≤ $f$ $(x)$ ≤ $f$ $(q)$ .

[szerkesztés] Bizonyítás sorozatkompaktsággal

[szerkesztés] Bolzano–Weierstrass-tétellel

Belátjuk, hogy $f$ ( $[a, b]$ ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy $f$ ( $[a, b]$ ) korlátos és zárt.

Legyen ( $y n$ ) egy $f$ ( $[a, b]$ )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsoroztata, melynek határértéke szintén $f$ ( $[a, b]$ ) beli. Minden $n$ természetes számra

$H_n:=\{x\in [a,b]\mid y_n=f(x))\}\ne\emptyset$

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan ( $x n$ ) sorozat, mely $[a, b]$ -ben halad és minden $n$ természetes számra $y n$ = $f$ $(x n)$ . A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor ( $x n$ )-nek létezik konvergens ( $z k$ ) részsorozata, melynek határértéke az $[a, b]$ -beli $u$ szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( $f$ ( $z k$ ) ) sorozat, mely az ( $y n$ ) részsorozata, konvergens és határértéke az $f$ ( $[a, b]$ )-beli $f$ $(u)$ szám.

A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy $f$ értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min $f$ ( $[a, b]$ ) ∈ $f$ ( $[a, b]$ ) és max $f$ ( $[a, b]$ ) ∈ $f$ ( $[a, b]$ ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan $p$ és $q$ $[a, b]$ -beli számok, hogy

$f(p)=\min \,f([a,b])$ és

$f(q)=\max \,f([a,b])$ ■

[szerkesztés] További bizonyítások

A tétel efféle bizonyítása két lépésben zajlik. Belátjuk, hogy a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény

korlátos – ez a korlátosság tétele
felveszi minumát és maximumát – ez a szélsőérték tétele vagy a szűkebb értelemben vett Weierstrass-tétel.

Mindkét lemmát többféleképpen is igazolhatjuk.

[szerkesztés] 1. A korlátosság igazolása

[szerkesztés] Heine–Borel-tétellel

Belátjuk, hogy $f$ korlátos. A folytonosság definíciója miatt minden ε-hoz, például :ε=1-hez és minden x ∈ $[a, b]$ -hez létezik olyan δ_x pozitív szám, hogy minden $x'$ ∈ $[a, b]$ -re, amennyiben $| x - x' |$ < δ_x, akkor $| f (x) - f (x') |$ < ε.

Vegyük minden $[a, b]$ -beli pontnak a δ_x sugarú nyílt környezetét. Ez a nyílt halmaz rendszer lefedi $[a, b]$ -t így a Borel–Lebesgue-tétel miatt ezek közül már véges sok is lefedi $[a, b]$ -t. Legyen ez az

$I_i=(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}),\quad\quad i = 1...n$

véges intervallumrendszer. Az $f (x i)$ számok között van legkisebb és legnagyobb, legyen ez rendre $f (u)$ és $f (v)$ . Minden $x$ ∈ $[a, b]$ -re létezik i, hogy x ∈ I_i, így

$f(u)-\varepsilon\leq f(x_i)-\varepsilon < f(x)<f(x_i)+\varepsilon\leq f(v)+\varepsilon$

tehát $f$ korlátos.

[szerkesztés] A felsőhatár axiómával

Legyen H a következő halmaz:

$H:=\{x\in [a,b]\mid f\mbox{ az }[a,x]\mbox{-en korl}\mathrm{\acute{a}}\mbox{tos}\}$

H nem üres, mert a ∈ H, és felülről korlátos, mert $[a, b]$ lefedi, így a felsőhatár axióma és [a,b] zártsága miatt létezik sup H ∈ [a,b]. Legyen az a h szám. Állítjuk, hogy h = b. Ha ugyanis h < b állna, akkor minden ξ ∈ [a,b]-re, melyre h < ξ teljesül [a,ξ]-ben f már nem lenne korlátos. Azonban f a h-ban is folytonos, így a h egy alkalmas δ sugarú környzetében korlátos, így [a , h - δ]-ban és [h - δ , h + δ]-ban is, amiből következik, hogy az unióban, [a , h + δ]-ban is, ami ellentmond annak, hogy h a H szuprémuma, hiszen a nála nagyobb h + δ is elem H-nak.

[szerkesztés] 2. A szélsőértéktétel

[szerkesztés] Az értékkészlet szuprémumtulajdonságával

Belátjuk, hogy $f$ felveszi a szuprémumát és infimumát. Nemüres, korlátos valós részhalmaznak van alsó és felső határa. Legyen $f$ értékkészletének felső határa $S$ . Ekkor minden $x$ ∈ $[a, b]$ -re

$f(x)\leq S$

Ha nem lenne $x S$ ∈ $[a, b]$ , hogy $f (x S)$ = $S$ , akkor a

$g(x)=\frac{1}{S-f(x)}\quad\quad x\in [a,b]$

függvény értelmezve lenne a teljes $[a, b]$ -n. $g$ folytonos, mert a folytonosságot megőrző függvényműveletekkel lett $f$ -ből elkészítve, de nem korlátos, ami az előző szakasz miatt ellentmondást ad. Minthogy ugyanis $S$ a szuprémum, minden ε pozitív számra létezik $x$ ∈ $[a, b]$ , hogy $S$ - ε < $f (x)$ , de ekkor g(x) > 1/ε, azaz $g$ minden határon túl nő.

[szerkesztés] Következmény

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:

Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.

Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ezesetben az előző állítás az első számú.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A PlanetMath Extreme value theorem szócikke

Kategóriák: Analízis | Matematikai tételek

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.