Stackelberg-duopólium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A Stackelberg-duopólium duopolhelyzetben lévő vállalatok viselkedésének modellezésére szolgál a mikroökonómiai piacelméletben. A modellt Heinrich von Stackelberg német közgazdász alkotta meg 1934-ben írott, Marktform und Gleichgewicht (Piaci forma és egyensúly) című művében.

A Stackelberg-duopólium jellemzői:

A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két eladó (a továbbiakban: vállalat) van jelen, akik között nincs együttműködés.
A két vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.
A megtermelt jószágegységek homogének, azaz minőségükben nem különböznek egymástól.
A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
A vállalatok csak a jószág általuk kibocsátott mennyiségéről döntenek, a jószág – egyetlen – árát piaci folyamatok alakítják ki.
A vállalatok kínálati döntésüket szekvenciális módon, vagyis stratégiai szempontból egymás után hozzák. Ez azt jelenti, hogy az egyik vállalat – a követő – kínálati döntésének meghozatalakor ismeri a másik – a vezető – döntését; fordítva viszont ez nem teljesül.
A vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait.

Tartalomjegyzék

1 A reakciófüggvény
2 A vezető döntése
3 Az egyensúly
4 Egy példa
5 A Stackelberg-duopólium játékelméleti modellje

[szerkesztés] A reakciófüggvény

Jelöljük a két vállalat által kínált jószág keresleti függvényét $D(p)\,$ -vel (p a piaci ár); a vezető, illetve a követő vállalat kibocsátását y_v-vel, illetve y_k-val; összköltség-függvényeiket pedig $C_v (y_v)\,$ -vel és $C_k (y_k)\,$ -val.

Először a követő profitmaximalizálási feladatát vesszük szemügyre. A követő vállalat profitja – $\pi _k\,$ – definíció szerint az árbevétel (a jószág ára szorozva a kibocsátott mennyiséggel) és az összköltség különbsége:

$\pi _k = p \cdot y_k - C_k (y_k)$

Feltételezzük, hogy a profit kibocsátás szerinti függvénye minden pontjában differenciálható (mindkét vállalatnál). Ekkor azonban a profitot maximalizáló y_k értékre a profitfüggvény deriváltja – az egyváltozós szélsőérték-számítás szabályai szerint – 0-val lesz egyenlő:

$\frac{\partial \pi _k}{\partial y_k} = \frac{\partial p}{\partial y_k} \cdot y_k + p - MC_k(y_k) = 0$

MC_k nem más, mint az összköltségfüggvény y_k szerinti deriváltja, amit határköltségnek nevezünk.

Azt is tudjuk, hogy p értéke a piaci folyamatok révén határozódik meg; méghozzá olyan módon, hogy a jószág piaci kereslete egyenlő lesz a teljes piaci kínálattal ( $y_v + y_k\,$ ):

$D(p) = y_v + y_k\,$

Ugyanezt az egyenlőséget a keresleti függvény inverzére (jelöljük ezt nagy P-vel) felírva:

$p = P(y_v + y_k)\,$

Helyettesítsük be ezt a függvényt a fenti egyenletbe, p helyére:

$\frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} \cdot y_k + P(y_v + y_k) - MC_k(y_k) = 0$

Mivel a követő vállalat ismeri a vezető kibocsátását (y_v-t), ezért ebben az egyenletben már csak egyetlen ismeretlen szerepel: y_k; az egyenletet megoldva a követő megkapja a profitját maximalizáló kibocsátási szintet.

De úgy is fogalmazhatunk, hogy ez az egyenlet implicit módon meghatározza az $y_k (y_v)\,$ függvényt, amit a követő vállalat reakciófüggvényének nevezünk. A reakciófüggvény megmutatja, hogy a vezető valamekkora kibocsátására mennyi a követő profitmaximalizáló kibocsátása.

[szerkesztés] A vezető döntése

A követő vállalathoz hasonlóan a vezető számára is saját profitjának maximalizálása a cél. A Stackelberg-duopólium jellemzői között feltettük, hogy a vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait, így a határköltségét (MC_k) is. Ez számára nagyon fontos információ, mert lehetővé teszi, hogy a követő vállalathoz hasonlóan ő is le tudja vezetni a követő reakciófüggvényét. Így viszont képes arra, hogy nem csupán a saját kibocsátásáról, hanem – azzal együtt – a követőéről is döntsön; y_k-nak pedig számára is van jelentősége, mert az az inverz keresleti függvény révén a piaci árat, így pedig a vezető profitját is befolyásolja.

Ez a pluszinformáció a vezető számára döntő jelentőségű; a lejjebbi példában látni fogjuk, hogy ezt (és a döntés elsőségének jogát) „pluszhatalomra”, piaci erőfölényre fogja váltani.

Írjuk fel a vezető vállalat profitját (az ár helyébe helyettesítsük mindjárt az inverz keresleti függvényt, a követő kibocsátásának helyébe pedig a reakciófüggvényt):

$\pi _v = P(y_v + y_k(y_v)) \cdot y_v - C_v (y_v)$

Ha a profit maximális, az y_v szerinti deriváltja 0:

$\frac{\partial \pi}{\partial y_v} = \frac{\partial P(y_v + y_k(y_v))}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + y_k(y_v)) - MC_v(y_v) = 0$

Ebben az egyenletben csak y_v az ismeretlen. Ha a vezető vállalat megoldja, megkapja a profitját maximalizáló kibocsátás értékét.

A reakciófüggvény, az egyenlőprofit-görbék és a Stackelberg-egyensúly.
(Megjegyzés: A reakciófüggvény csak akkor biztosan lineáris és negatív meredekségű, ha a keresleti függvény is negatív meredekségű és lineáris.)

[szerkesztés] Az egyensúly

Az imént levezetett y_v és – a reakciófüggvényből származó – y_k értékek mindkét vállalat profitját maximalizálják. Ezért a Stackelberg-modellben (ellentétben például a Cournot-duopóliummal) minden esetben azonnal egyensúly alakul ki.

Grafikusan ez az egyensúly a követő vállalat reakciófüggvényének és a vezető egyenlőprofit-görbéinek érintési pontjaként szemléltethető. Ez utóbbiak olyan görbék, amelyeknek a pontjaihoz ugyanaz a profit tartozik. Tehát a vezető vállalat a követő reakciófüggvényéről a számára legnagyobb profitot biztosító pontot fogja választani.

[szerkesztés] Egy példa

Egy kisvárosban két fagylaltos „tevékenykedik”. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy mindketten csak egyféle fagylaltot (mondjuk csokit) árulnak, és a két „vállalat” fagylaltját senki sem tudja egymástól megkülönböztetni. Az általuk alkotott duopóliumra teljesülnek a Stackelberg-modell feltételei. Mindkét vállalat hetente hozza meg a kínálati döntését, de az egyikük később, mint a másik, így az egyik (a követő) meg tudja figyelni a másik (a vezető) döntését.

A fagylalt keresleti függvénye (a mennyiség egysége legyen 1 gombóc):

$D(p) = 1600 - 8p\,$

A vezető vállalat valamivel olcsóbban szerzi be az alapanyagot, így a határköltsége konstans 70 forint, míg a követőé konstans 80 forint.

Kérdések: Mennyi lesz az egyes vállalatok Stackelberg-egyensúlyi kibocsátása, valamint a piaci ár? Mennyi volna az összkibocsátás és az ár abban az esetben, ha a fagylaltnak versenyzői piaca lenne?

[szerkesztés] A reakciófüggvény

A reakciófüggvényt implicit módon meghatározó egyenlet:

$\frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} \cdot y_k + P(y_v + y_k) - MC_k(y_k) = 0$

Az inverz keresleti függvény levezetése:

$\begin{matrix} D(p) = 1600 - 8p \\ 8p = 1600 - D(p) \\ p = 200 - \frac{1}{8} \cdot D(p) = 200 - \frac{1}{8} \cdot y = P(y) \end{matrix}$

Mivel $\frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} = -\frac{1}{8}$ , ezért behelyettesítve a fenti egyenletbe:

$\begin{matrix} -\frac{1}{8} \cdot y_k + 200 - \frac{1}{8} \cdot (y_v + y_k) - 80 = 0 \\ 120 - \frac{1}{8} \cdot y_v = \frac{1}{4} \cdot y_k \\ 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v = y_k \end{matrix}$

Megkaptuk a követő vállalat reakciófüggvényét.

[szerkesztés] A vezető döntése

A vezető profitmaximalizáló kibocsátása ennek az egyenletnek a megoldásával egyenlő:

$\frac{\partial P(y_v + y_k(y_v))}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + y_k(y_v)) - MC_v(y_v) = 0$

Helyettesítsük be a reakciófüggvényt:

$\frac{\partial P(y_v + 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v)}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v) - MC_v(y_v) = 0$
$\frac{\partial P(\frac{1}{2} \cdot y_v + 480)}{\partial y_v} \cdot y_v + P(\frac{1}{2} \cdot y_v + 480) - MC_v(y_v) = 0$

Helyettesítsük be az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

$\frac {\partial (200 - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} \cdot y_v + 480))} {\partial y_v} \cdot y_v + 200 - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} \cdot y_v + 480) - 70 = 0$
$\frac {\partial (140 - \frac{1}{16} \cdot y_v)} {\partial y_v} \cdot y_v + 70 - \frac{1}{16} \cdot y_v = 0$

A baloldalon lévő derivált $-\frac{1}{16}$ -dal egyenlő:

$-\frac{1}{16} \cdot y_v + 70 - \frac{1}{16} \cdot y_v = 0$

Amiből:

$\begin{matrix} 70 = \frac{1}{8} \cdot y_v \\ 560 = y_v \end{matrix}$

[szerkesztés] Az egyensúly

A vezető vállalat profitmaximalizáló kibocsátása tehát 560 gombóc fagylalt hetente. A követőé pedig 200 gombóc, mert

$y_k (y_v) = 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v = 480 - \frac{1}{2} \cdot 560 = 200.$

Látható, hogy a vezető és a követő vállalat kibocsátása – ezáltal pedig a piaci részesedésük, „hatalmuk” – között lényeges eltérés van. Ez két okkal magyarázható:

a vezető vállalat többletinformációjából, illetve abból eredő „pluszhatalommal”, hogy közvetve ő dönthet a másik vállalat kibocsátásáról is;
a követő vállalat magasabb költségeivel.

Belátható, hogy ha a két vállalat határköltsége egyenlő volna, akkor a vezető kibocsátása éppen kétszerese lenne a követőének.

A piaci árat az összkibocsátásnak az inverz keresleti függvénybe való helyettesítésével kaphatjuk meg:

$p = P(760) = 200 - \frac{1}{8} \cdot 760 = 105$

[szerkesztés] A versenyzői piaccal való összehasonlítás

Ha a fagylalt piacát tökéletes verseny jellemezné, akkor az egyensúlyi ár-kibocsátás kombináció a piaci keresleti függvény és a határköltséggörbe metszéspontjában lenne. (Versenyzői piacon a kínálati függvény egybeesik a határköltség görbéjével.) A versenyző vállalatok határköltsége 70 forint lenne, mert a versenyzői piacon minden információ nyilvános, így hosszú távon minden vállalat a kisebb költségű alapanyag-beszerzésre állna át.

Tegyük egyenlővé az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

$\begin{matrix} P(y) = MC(y) \\ 200 - \frac{1}{8} \cdot y = 70 \\ y = 1040 \end{matrix}$

Az ár pedig a határköltséggel, vagyis 70-nel lenne egyenlő.

Hasonlítsuk össze az összkibocsátást és az árat Stackelberg-duopólium, illetve versenyzői piac esetén:

	Stackelberg-duopólium	Versenyzői piac
Összkibocsátás	760	1040
Ár	105	70

Látszik, hogy Stackelberg-duopólium esetén a kibocsátás alacsonyabb, az ár pedig magasabb, mint a versenyzői piacon. A Stackelberg-duopólium a tökéletes versenyhez képest a javak kevésbé hatékony elosztását tudja csak biztosítani.

Viszont az is belátható, hogy a Stackelberg-duopólium hatékonyabb, mint a Cournot-duopólium és a monopólium.

A hatékonyságveszteség számszerűen is kifejezhető, ha meghatározzuk az úgynevezett holtteherveszteséget, a vásárlók kieső fogyasztói többletének és a vállalatok kieső termelői többletének összegét. A holtteherveszteség képlete, ha a keresleti és a határköltségfüggvény is lineáris:

$HTV = \frac{\Delta p \cdot \Delta y}{2}$

$\Delta p\,$ a Stackelberg-duopólium és a versenyzői piac árának különbségét, $\Delta y\,$ pedig a két kibocsátás különbségét jelöli. Jelen esetben:

$HTV = \frac{(105-70) \cdot (1040-760)}{2} = \frac{35 \cdot 280}{2} = 4900$

A Stackelberg-modellből eredő heti holtteherveszteség tehát példánkban 4900 forint.

A Stackelberg-játék extenzív alakja (a számok a fenti példából származnak)

[szerkesztés] A Stackelberg-duopólium játékelméleti modellje

A Stackelberg-duopóliumot a játékelmélet olyan tökéletes információs játékként fogja fel, amelynek elemei a következők:

két játékos, a vezető és a követő vállalat;
először a vezető, majd a követő lép;
mindkét játékos számára a választható akciók a kibocsátásának lehetséges értékei;
a játék végén a kifizetések a játékosok profitjai;
a játékosok célja, hogy kifizetésük maximális legyen.

A Stackelberg-egyensúly a játék tiszta stratégiákon alapuló Nash-egyensúlya lesz.

Kategória: Mikroökonómia

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Stackelberg-duopólium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A reakciófüggvény

[szerkesztés] A vezető döntése

[szerkesztés] Az egyensúly

[szerkesztés] Egy példa

[szerkesztés] A reakciófüggvény

[szerkesztés] A vezető döntése

[szerkesztés] Az egyensúly

[szerkesztés] A versenyzői piaccal való összehasonlítás

[szerkesztés] A Stackelberg-duopólium játékelméleti modellje

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken