Pitagoraszi számhármasok
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre x2 + y2 = z2 teljesül. Másszóval az x2 + y2 = z2 diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pithagorasz-tétel értelmében x,y,z egy derékszögű háromszög oldalai.
Példák (n tetszőleges pozitív egész):
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3n | 4n | 5n |
| 5n | 12n | 13n |
| 7n | 24n | 25n |
| 8n | 15n | 17n |
| 9n | 40n | 41n |
A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:
vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.
Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:
A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x,y,z számokra x2 + y2 = z2 teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x,y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor
a jobboldal mindkét tényezője páros (különbségük páros de mindkettő páratlan nem lehet): z + y = 2a, z - y = 2b. Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná y = a - b,z = a + b-t is. Mivel x2 = 4ab, azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: a = s2, b = t2. Ezzel meg is van a kívánt előállítás: x2 = 4s2t2 miatt x = 2st, y = a - b = s2 - t2, z = a + b = s2 + t2.
Rigotamas,