ebooksgratis.com

Web Analytics Made Easy - Statcounter

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions

Bernoulli-számok - Wikipédia

Bernoulli-számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

[szerkesztés] Definíció

A Bernoulli-számok a következő rekurzióval keletkeznek: $B 0 = 1$ , továbbá

B 0 + 2 B 1 = 0

B 0 + 3 B 1 + 3 B 2 = 0

B 0 + 4 B 1 + 6 B 2 + 4 B 3 = 0

B 0 + 5 B 1 + 10 B 2 + 10 B 3 + 5 B 4 = 0

Így adódik a $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_3=0, B_4=-\frac{1}{30}, B_5=0, B_6=\frac{1}{42}\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$ .

Leonhard Euler a Bernoulli-számokat a Riemann-féle zéta-függvény segítségével definiálta a következő képpen:

$B_{2n}=2(-1)^{n+1}\frac {\zeta(2n)\; (2n)!} {(2\pi)^{2n}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.$

${\rm tg}\left( x \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

${\rm ctg}\left( x \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

[szerkesztés] A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha m legalább 1, akkor

$B_{2m}+\sum \frac{1}{p}$

egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Ramanujan észrevétele, hogy ekkor $B 2 m$ nevezője osztható 6-tal.

[szerkesztés] Aszimptotikus becslés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:

$\left| {B_{2n} } \right| \sim 4\sqrt {\pi n} \left( {\frac{n}{{\pi e}}} \right)^{2n}$

Kategória: Nevezetes számsorozatok

Views

Keresés

Más nyelveken

Powered by MediaWiki

Wikimedia Foundation

Ezt a lapot utoljára VolkovBot Wikipédia felhasználó módosította 08:49, 2008. május 22. időpontban. Loveless, Kope, Gubbubu, SieBot, Burumbátor és Syp Wikipédia felhasználó(k) és Névtelen Wikipédia-felhasználó(k) munkája alapján.
A lap szövege a GNU Free Documentation License feltételei szerint használható fel (lásd a Wikipédia:Felhasználási feltételek lapot).
A Wikipedia® a Wikimedia Foundation, Inc. bejegyzett védjegye.
A Wikipédiáról
Jogi nyilatkozat

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -