משוואת החום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: כתוב כמו דף מספר לימוד, ללא הסבר אמיתי של המושג, חשיבותו ושימושיו. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

תצוגה גרפית לפתרון משוואת הולכת החום במימד אחד. (לחצו כאן לאנימציה)

משוואת החום (או משוואת הולכת החום) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב.

[עריכה] הגדרה

בצורתה המלאה, המשוואה נכתבת כך:

$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( k(u,\vec{r}) \, \nabla u(\vec{r},t) \bigg)$ , כאשר:

$\, u$ - פילוג החומר (או הטמפרטורה) במרחב ובזמן
$\, t$ - הזמן
$\, k$ - מקדם הדיפוזיה של החומר
$\, \vec{r}$ - וקטור המתאר מקום במרחב.

בדרך כלל מתייחסים למקדם הדיפוזיה כאל קבוע, ואז אפשר לכתוב:

$\frac{\partial u}{\partial t} = k\nabla^2 u (\vec{r},t),$

במערכת צירים קרטזית משוואת הולכת החום

${\partial u\over \partial t} = k \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } + {\partial^2 u\over \partial y^2 } + {\partial^2 u\over \partial z^2 }\right) = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad$

כאשר $\ u=u(x,y,z)$ היא פונקציית הטמפרטורה, ו- k הוא מקדם הולכת החום של החומר.

[עריכה] פתרון כללי למימד אחד

פתרון המשוואה, במימד אחד, על ידי הפרדת משתנים הוא:

$\ u(t,x) = X(x) T(t). \quad$

$\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad$

שני הצדדים של המשוואה הם משוואות התלויות במשתנים שונים, לכן הם חייבים להיות שווים לקבוע מספרי. הקבוע חייב להיות שלילי מכיוון שאחרת הטמפרטורה תגיע לאינסוף, ונסמנו λ²-. הפתרון הסופי המתקבל הוא:

$T(t) = A e^{-\lambda^2 k t} \quad$

$X(x) = B \sin(\lambda \, x) + C \cos(\lambda \, x).$

את הפרמטר λ נקבל מתנאי השפה של הבעיה, והמשך הפתרון על ידי טור פורייה.

[עריכה] דוגמה לאילוץ תנאי התחלה ושפה

ניקח מוט באורך L, המבודד כולו פרט לקצה אחד שלו, שם הוא מוחזק בטמפרטורה קבועה. התנאים שנקבל:

תנאי התחלה: בזמן t=0 כל המוט בטמפ' החדר: $u (0, x) = T 0$
תנאי שפה א': הטמפרטורה במקום x=0 קבועה תמיד: $u (t,0) = T m a x$
תנאי שפה ב': כל המוט מבודד, כך שנוכל לכתוב לגבי קצה המוט: ${\partial u\over \partial x}(t,L) = 0$

מכיוון שבמשוואה הגדלים דיפרנציאליים, נוכל לבחור את נקודת האפס כרצוננו. נבחר את נקודת האפס של הטמפרטורה ב- $T m a x$ . למרות שהטמפרטורה במוט תמיד שלילית בסקלה זו, היא הטובה ביותר להתייחס בה לבעיה. נאלץ את תנאי שפה א':

$u(t,0) = A e^{-\lambda^2 k t} * C = 0 \quad$

ומכאן

$C = 0 \quad$

נאלץ את תנאי ב':

${\partial u\over \partial x}(t,L) = D e^{-\lambda^2 k t} \cos(\lambda \, L) = 0$

כאשר D כולל בתוכו מספר פרמטרים שהיו קודם.

ונקבל כי λ יכול להכתב בסדרה של ערכים אפשריים:

$\lambda \,_{n} = {\pi \, \over L} (n + \frac{1}{2})$

מכאן שגם הפרמטר החופשי A יכול להיות מספר ערכים אפשריים, נקבל:

$u(t,x) = \sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{-\lambda_{n}^2 k t} \ \sin(\lambda_{n} \, x)$

כשנשאר לנו למצוא את A_n. נאלץ את תנאי השפה באמצעות טור פורייה, וכפל בפונקציה $\sin(\lambda_{m} \, x)$ עבור מספר שלם כלשהו m. אחרי ביצוע אינטגרל על כל המוט, נקבל:

$A_{n} = \frac{4 \ (T_{0}-T_{max})}{\pi \, (2n + 1)}$

כך שהפתרון למקרה אחרי אילוץ כל התנאים הוא:

$u(t,x) = T_{max} - \frac{4 \ (T_{max} - T_{0})}{\pi} \ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \ \sin \left( \pi \ (n+\frac{1}{2}) \ \frac{x}{L} \right) \ \exp \left( -\frac{k \ \pi^{2}}{L^{2}} \ (n+\frac{1}{2})^{2} \ t \right)$