מונה קומפקטי חלש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות, מונה קומפקטי חלש הוא סוג של מונה גדול בעל תכונות קומבינטוריות מסוימות.

תוכן עניינים 1 הגדרה 2 הגדרות שקולות ותכונות נוספות 3 קומפקטיות בשפות אינסופיות 4 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה

מונה κ, שאינו בן מניה, ייקרא מונה קומפקטי חלש (Weakly Compact Cardinal) אם κ מקיים את תכונת החלוקה f: κ → (κ) ² , כלומר, עבור כל פונקציה f: [κ] ² → {0, 1} x קיימת תת קבוצה H של κ בעוצמה κ, כך ש-f קבועה על ²[H]. כאשר κ=ω, תכונת החלוקה מתקיימת כמקרה פרטי של הגרסה האינסופית למשפט רמזי. לעומת זאת, לא ניתן להוכיח את תכונת החלוקה ב-ZFC עבור κ שאינו בן מניה, עובדה זו הופכת אותה לתכונה של מונים גדולים.

[עריכה] הגדרות שקולות ותכונות נוספות

• מונה κ הינו קומפקטי חלש אם ורק אם κ בלתי נגיש ומקיים את תכונת העץ: עבור כל עץ שגובהו κ ועוצמת כל אחת מהקומות שלו קטנה מ-κ, קיים ענף בגובה κ. תכונת העץ היא למעשה הכללה של עצי ארונשיין עבור מונים גדולים מ-ω₁.

• מונה κ הינו קומפקטי חלש אם ורק אם κ הוא - בלתי ניתן לתאור: עבור כל S ⊆ V_κ ועבור כל פסוק φ מסוג שהינו אמיתי ב-(V_κ, ∈, S), קיים α < κ כך ש- φ אמיתי ב-(V_α, ∈, S ∩ V_α).

• בניגוד למונים מדידים, קיומו של מונה קומפקטי חלש הינו עקבי ביחס לאקסיומת הקונסטרוקטיביליות.

• מונה κ שמקיים את תכונת החלוקה f: κ → (κ) ^{< ω} ייקרא מונה רמזי. כל מונה רמזי הינו קומפקטי חלש.

[עריכה] קומפקטיות בשפות אינסופיות

ניתן לאפיין מונים קומפקטים חלשים בעזרת מונחים מתורת המודלים. מאפיינים אלו העניקו למונים את שמם:

• כאשר κ מונה קומפקטי חלש, השפה מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש: אם Σ קבוצת פסוקים שעוצמתה אינה עולה על κ, כך שכל תת קבוצה שלה בעוצמה קטנה מ-κ הינה עקבית, הרי שקיים גם כן מודל ל-Σ.

• כמו כן, כאשר κ מונה בלתי נגיש, והשפה מקיימת את משפט הקומפקטיות החלש, ניתן לראות כי κ מקיים את תכונת העץ, ולכן הוא מונה קומפקי חלש.

[עריכה] לקריאה נוספת

• Set theory, third millennium edition - Thomas Jech, Springer 2002
• The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, 2nd ed - Akihiro Kanamori, Springer 2003