מודל דרודה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מודל דרודה הינו מודל פיזיקלי קלאסי להולכה במתכות. בעזרת מודל זה ניתן לקבל את חוק אוהם ואת המוליכות הסגולית של מתכות. המודל הוצע לראשונה בשנת 1900 על ידי הפיזיקאי הגרמני פאול דרודה. מאוחר יותר הורחב המודל על ידי הנדריק לורנץ ועל ידי ארנולד זומרפלד שכלל בו אפקטים קוונטיים.

תוכן עניינים

1 הנחות המודל
- 1.1 הזמן בין ההתנגשויות
2 מודל דרודה וחוק אוהם
3 משוואות התנועה במודל דרודה ושימושיהן
- 3.1 מוליכות ביחס לזרם חילופין
- 3.2 מקדם מוליכות החום
4 דיון
5 לקריאה נוספת

[עריכה] הנחות המודל

מודל דרודה הינו בעצם ישום של התורה הקינטית של הגזים עבור מתכות.

מודל זה מתייחס למתכת כמורכבת מגז אלקטרונים הנעים על רקע של יונים נייחים. האינטראקציות בין האלקטרונים מוזנחות, והאינטראקציות בין האלקטרונים והיונים נלקחות בחשבון כהתנגשויות.

ההסתברות להתנגשות בפרק זמן קטן dt נלקחת כ $\ dt/\tau$ , כאשר $\ \tau$ קבוע (אינו תלוי במיקום, מהירות האלקטרון או בזמן שחלף מאז ההתנגשות הקודם), והינו בעצם הזמן הממוצע בין ההתנגשויות. כתוצאה מהתנגשות, האלקטרון מקבל מהירות אקראית, שכיוונה מתפלג אחיד (איזוטרופיות), וגודלה הממוצע נקבע ע"פ הטמפרטורה באזור ההתנגשות (חוק החלוקה השווה).

בין ההתנגשויות, האלקטרונים נעים בהשפעת כוחות חיצוניים בלבד.

[עריכה] הזמן בין ההתנגשויות $\ \tau$

הזמן בין ההתנגשויות, $\ \tau$ , הינו פרמטר מרכזי במודל. את $\ \tau$ ניתן להעריך על ידי $\tau=\frac{l}{\bar v}$ , כאשר $\ l$ הוא המהלך החופשי הממוצע ו- $\bar v$ היא המהירות הממוצעת של האלקטרונים.

על פי הנחות המודל $\ l \approx 1-10 \AA$ (זהו המרחק האופייני בין היונים במתכת). את המהירות הממוצעת ניתן לקבל מחוק החלוקה השווה:

. $\frac{1}{2} m \bar v^2 = \frac{3}{2} k_B T \Rightarrow \bar v = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$

עבור טמפרטורת החדר, מתקבל $\bar v \approx 10^7 cm/sec$ , ובסה"כ $\tau \approx 10^{-14}-10^{-15} sec$ .

[עריכה] מודל דרודה וחוק אוהם

במסגרת הנחות מודל דרודה ניתן לקבל את הגרסה המיקרוסקופית של חוק אוהם $\vec J = \sigma \vec E$ עבור זרם ישר באופן הבא:

נחשב את צפיפות הזרם $\vec J$ במתכת. זו נתונה על ידי $\vec J = n e \vec v_d$ , כאשר e מטען האלקטרון, n צפיפות האלקטרונים במתכת, ו- $\vec v_d$ המהירות הממוצעת של האלקטרונים (מהירות הסחיפה).

בהיעדר שדה חשמלי חיצוני, תנועת האלקטרונים נקבעת אך ורק על ידי ההתנגשויות ולכן המהירות הממוצעת היא אפס (כיוון שהמהירות מתפלגת אחיד בכל הכיוונים).

כאשר מופעל שדה חשמלי חיצוני קבוע $\vec E$ , האלקטרונים ינועו בין ההתנגשויות בהשפעת השדה. אם מהירות האלקטרון לאחר ההתנגשות האחרונה היא $\vec v_0$ , אזי לאחר זמן t מהתנגשות זו, מהירותו תהיה $\vec v = \vec v_0 + \frac{e\vec E t}{m}$ . אם נמצע על כל האלקטרונים, $\vec v_0$ יתמצע לאפס, והזמן שחלף מאז ההתנגשות האחרונה יתמצע ל $τ$ . המהירות הממוצעת היא לפיכך: $\vec v_d = \frac{e\vec E \tau}{m}$ , וצפיפות הזרם:

$\vec J = \frac{ne^2\tau}{m} \vec E$ .

כלומר צפיפות הזרם פרופורציונית לשדה החשמלי (כפי שטוען חוק אוהם) ומקדם הפרופורציה (המוליכות הסגולית) הוא $\sigma =\frac{ne^2\tau}{m}$ .

[עריכה] משוואות התנועה במודל דרודה ושימושיהן

באופן כללי, המהירות הממוצעת של האלקטרונים במודל דרודה נשלטת על ידי המשוואה הבאה:

. $m \frac {d\vec v}{dt} = \vec F - \frac{m\vec v}{\tau}$

כלומר השינוי בתנע הממוצע נובע מכוחות חיצוניים ( $\vec F$ ) ואיבוד תנע בכתוצאה מהתנגשויות.

בעזרת משוואות אלו ניתן לחשב את המוליכות במקרים מסובכים יותר, כגון בנוכחות שדה מגנטי (אפקט הול) או במקרה של שדה חשמלי משתנה בזמן (זרם חילופין). שימוש נוסף של מודל דרודה הוא לחישוב מוליכות החום של מתכות (חוק וידמן פרנץ).

תוצאות חשובות במודל זה הינם:

[עריכה] מוליכות ביחס לזרם חילופין

עבור שדה חשמלי מן הצורה $\vec E(t) = \vec E_0 e^{-i\omega t}$ מתקבלת מוליכות:

, $\sigma = \frac{\sigma_0}{1-i\omega \tau}$

כאשר $\sigma_0 =\frac{ne^2\tau}{m}$ היא המוליכות עבור מקרה של זרם ישר.

[עריכה] מקדם מוליכות החום

מקדם מוליכות החום המתקבל במודל דרודה הוא:

, $\kappa = \frac{1}{3}c_v \tau v^2$

כאשר $c v$ הוא קיבול החום הסגולי של גז האלקטרונים ו $v$ היא המהירות הממוצעת.

[עריכה] דיון

מודל דרודה זכה להצלחה כאשר פורסם עם ניבויים שהתאימו לניסוי. אולם לאחר מכן התברר שההתאמה לניסוי אינה מושלמת והיא אינה תקפה לכל סוגי המתכות ובכל התנאים, וכי ישנן תופעות רבות שאינן ניתנות כלל להסבר במסגרת מודל דרודה (ראו רשימה ארוכה בפרק 3 בספר של Ashcroft & Mermin). למען האמת, גם במקרים בהם מודל דרודה נותן תוצאה התואמת לערכים ניסיונים, מדובר במקריות הנובעת מכמה טעויות שהתקזזו.

בפועל ההנחות העומדות בבסיס המודל פשוט שגויות. השגיאות הבולטות הן:

התייחסות לאלקטרונים כאל חלקיקים קלאסיים - האלקטרונים הינם פרמיונים וחוק החלוקה השווה אינו תקף עבורם (בטמפרטורת החדר).
לא ניתן למדל את האינטראקציה בין האלקטרונים ליונים בעזרת התנגשויות - ישנה חשיבות למבנה המחזורי של הגביש היוני (כמו גם לפגמים ואי סדר בו)

הרחבה ראויה לציון של מודל דרודה נעשתה על ידי הפיזיקאי הגרמני ארנולד זומרפלד. זומרפלד השתמש במודל דרודה, אך את מהירות האלקטרונים קבע מתוך התפלגות פרמי-דיראק ולא על פי חוק החלוקה השווה. באופן זה הצליח לשפר את ניבויי המודל, אך עדיין תופעות רבות נותרו ללא הסבר. גרסה זו של המודל מכונה מודל זומרפלד.

חרף הבעיות במודל דרודה, הוא משמש גם כיום כנקודת מוצא לחקר תופעת המוליכות החשמלית.

[עריכה] לקריאה נוספת

Solid state physics - Ashcroft / Mermin

קטגוריות: חשמל | פיזיקה של חומר מעובה

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

מודל דרודה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הנחות המודל

[עריכה] הזמן בין ההתנגשויות $\ \tau$

[עריכה] מודל דרודה וחוק אוהם

[עריכה] משוואות התנועה במודל דרודה ושימושיהן

[עריכה] מוליכות ביחס לזרם חילופין

[עריכה] מקדם מוליכות החום

[עריכה] דיון

[עריכה] לקריאה נוספת

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות