אלגברות קיילי-דיקסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, בניית קיילי-דיקסון היא הליך לבנייה של סדרה אלגברות לא אסוציאטיביות שמעל שדה שדה המספרים הממשיים, כך שלכל אלגברה יש ממד כפול מן הקודמת לה. האלגברות שנוצרות בדרך זו נקראות אלגברות קיילי-דיקסון.

לאלגברות אלו אפשר להגדיר נורמה וכן הצמדה, בשמירה על הזהות שעל פיה בכפל גורם עם הצמוד שלו התוצאה שווה לריבוע הנורמה שלו. בסדרת האלגברות המתקבלת, כל אלגברה מקיימת אקסיומות חלשות יותר מן הקודמות לה. כך למשל, בצעד השני מתקבלת אלגברה עם חילוק שאינה קומוטטיבית, ובצעד השלישי מתקבלת אלגברה אלטרנטיבית שאינה אסוציטיאטיביות.

אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים.

[עריכה] מספרים מרוכבים כזוג סדור

המספרים המרוכבים יכולים להירשם כזוג סדור $(a, b)$ של מספרים ממשיים $a$ ו- $b$ , עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך:
$\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-bd,ad+bc \right)$
מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב $(a,0)$ הוא המספר הממשי $a$ .

אופרטור חשוב אחר במספרים מרוכבים הוא הצמדה. הצמוד $\overline{\left( a,b \right)}$ של $\left( a,b \right)$ נתון על ידי:
$\overline{\left( a,b \right)}=\left( a,-b \right)$
הצמוד הוא בעל התכונה ש:
$\overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( aa+bb,ab-ba \right)=\left( a^{2}+b^{2},0 \right)$
כך שהתוצאה היא מספר ממשי אי שלילי. בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים למרחב נורמי שמעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב $z$ היא:
$\left| z \right|=\left( \bar{z}z \right)^{{1}/{2}\;}$
נוסף על כך, לכל מספר מרוכב שונה מאפס $z$ , הצמוד נותן דרך לחשב את ההופכי:
$z^{-1}={{\bar{z}}}/{\left| z \right|^{2}}\;$
במידה שמספר מרוכב מורכב משני רכיבים עצמאיים של מספרים ממשיים, הם יוצרים מרחב וקטורי דו ממדי.

כמו בממדים גדולים יותר, המספרים המרוכבים חסרים תכונה של מספרים ממשיים: כל מספר ממשי הוא צמוד של עצמו.

[עריכה] צעד שני: הקווטרניונים

הצעד הבא בבניה הוא להכליל את הכפל וההצמדה. מה שצריך לעשות הוא קל, אם כי לאו דווקא ברור.

תבנית של זוג סדור $\left( a,b \right)$ של מספרים מרוכבים, עם כפל שמוגדר על ידי:
$\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-\bar{b}d,\bar{a}d+bc \right)$
וצמוד $\overline{\left( a,b \right)}$ של $\left( a,b \right)$ , שנתון על ידי:
$\overline{\left( a,b \right)}=\left( \bar{a},-b \right)$
מרכיבות אלגברה שנקראת אלגברת הקווטרניונים.

כפל של גורם עם הצמוד שלו הוא מספר אי שלילי:
$\overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( \bar{a},-b \right)\left( a,b \right)=\left( \bar{a}a+\bar{b}b,ab-ba \right)=\left( \left| a \right|^{2}+\left| b \right|^{2},0 \right)$
כמו מקודם, הצמוד "נותן" נורמה והופכי.

במידה שקווטרניונים מורכבים משני מספרים מרוכבים לא תלוים, הקווטרניונים הם מרחב וקטורי 4 ממדי (מעל הממשיים).

פעולת הכפל אצל הקווטרניונים היא לא כמו אצל המספרים המרוכבים, לדוגמה. הכפל אינו חילופי, שזאת אומרת, אם $p, q$ הם קווטרניונים, ייתכן שיתקיים $pq\ne qp$ .

[עריכה] צעד נוסף: האוקטוניונים

מעכשיו, כל השלבים דומים.

כפל של שני זוגות סדורים של קווטרניונים מתבצע כך:
$\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-\bar{d}b,da+b\bar{c} \right)$
וההצמדה מתבצעת בדיוק כמו אצל הקווטרניונים.

כמו מקודם, ההצמדה "נותנת" נורמה והופכי לכל מספר שאינו אפס.

אלגברה זו נקראת "אלגברת האוקטוניונים" או "מספרי קיילי".

באותה מידה שאוקטוניונים מורכבים משני קווטרניונים, האוקטוניונים הם מרחב וקטורי 8 ממדי מעל הממשיים.

הכפל אצל האוקטוניונים, בנוסף שאינו חילופי, הוא גם אינו קיבוצית, כלומר, אם $p, q, r$ הם אוקטוניונים, לא בהכרח מתקיים ש- $\left( pq \right)r=p\left( qr \right)$ .

[עריכה] ועוד

האלגברה שבאה אחרי האוקטוניונים נקראת "אלגברת הסדניונים".

בניית קיילי-דיקסון יכולה להמשיך עד אינסוף, ובכל צעד מקבלים אלגברה במספר ממדים גדול פי 2 מהאלגברה הקודמת.

אחרי האוקטוניונים, האלגברות מכילות מחלקי אפס, כלומר, אם $p, q$ הם גורמים באלגברות אלו, אם נתון $p q = 0$ אז לא בהכרח מתקיים ש- $p = 0$ או ש- $q = 0$ .

קטגוריה: אלגברה לא אסוציאטיבית

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

אלגברות קיילי-דיקסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] מספרים מרוכבים כזוג סדור

[עריכה] צעד שני: הקווטרניונים

[עריכה] צעד נוסף: האוקטוניונים

[עריכה] ועוד

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות