Transformada de Laplace

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

[editar] Notación en Enxeñaría/Física

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, exprime iso da forma seguinte:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

$F_B(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en Enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

[editar] Propiedades

[editar] Linearidade

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

[editar] Derivada

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

[editar] Integral

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

[editar] Composición

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$ Amortización

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

$\mathcal{L}\left\{ f(ta) \right\} = e^{as}F(s)$ Atraso

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u (t)$ é a función de etapa de Heaviside.

[editar] Valor Final

$\lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)$

[editar] Convolución

$\mathcal{L}\{f \otimes g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

[editar] Transformada de Laplace dunha función de período p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[editar] Algunhas transformadas usuais

[editar] Potencia n

$\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$

[editar] Exponencial

$\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}$

[editar] Seno

$\mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}$

[editar] Coseno

$\mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}$

[editar] Seno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}$

[editar] Coseno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}$

Demostracción

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {1}{2} \mathcal{L}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\} = \frac {1}{2} (\mathcal{L}\{\,e^{bt}\} + \mathcal{L}\{\,e^{-bt}\}) = \frac {1}{2} (\frac {1}{s-b} + \frac {1}{s+b}) = \frac {1}{2} (\frac {s + b + s - b}{s^2-b^2}) = \frac {1}{2} (\frac {2s}{s^2-b^2}) = \frac {s}{s^2-b^2}$

[editar] Logaritmo natural

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

[editar] Raíz n

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

[editar] Función de Besel do primeiro tipo

$\mathcal{L}\{\,X_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}$

[editar] Función de Besel modificada do primeiro tipo

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

[editar] Función erro

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

[editar] Outras transformadas comúns

Transformada de Laplace	Función no dominio Tempo	$1$	$δ(t)$ , impulso unitario
$\frac{1}{s}$	$u (t)$ , paso unitario
$\frac{n!}{(s + a)^{n+1}}$	$e - a t t n$
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$1 - e - a t$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{ba}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{ca}{b}\right)\sin{(bt)}\right)$
$\frac{\sin\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\sin{(at+\varphi)}$