Àireamhan àicheil is neo-àicheil
As a'Wikipedia
'S e àireamh nas lugha na neoni a th' ann an àireimh àicheil. Tha na h-àireamhan nas mò na neoni dearbh (no dearbhte). Chan eil neoni fhèin dearbh no àicheil. Ma tha àireamh neo-àicheil, 's e àireamh dhearbh no neoni a th' innte. Ma tha i neo-dhearbh, 's e àireamh àicheil no neoni a th' innte.
Ma thathar a' labhairt iomradh air àireamhan co-fhillte, 's e fìor-àireamh a th' ann mar as cumanta ma thathar ag ràdh dearbh rithe.
Clàr-innse |
[deasaich] Àireamhan àicheil
Faodar a bheachdachadh air na h-àireamhan àicheil mar gum biodh iad a' leigeil a-mach air na h-àireamhan nàdarra gus fuasgladh ciallach a thoirt don cho-aontar x – y = z airson gach luach de x agus y. Agus 's ann a' leigeil a-mach air seo mu seach a tha na h-àlaichean eile de dh' àireamhan agus gach aon dhiubh a' toirt tuilleadh coitcheannais do dh' àireamhan.
Tha àireamhan àicheil feumail airson àireimh a chur ri puingean sgèile a thèid fo neoni, mar eisimpleir sgèile theòthachd, agus airson fiachan nochdadh sa chunntasachd far a bheil iad air an sgrìobhadh le figearan dearga, no le figearan eadar chamagan.
[deasaich] Àireamhan neo-àicheil
Tha àireamh neo-àicheil ma tha i nas mò na, no co-ionnan ri, neoni (.i. àireamh dhearbh no neoni fhèin). Ri linn seo chan eil ciall air a' bhriathar neo-àicheil am measg àireamhan co-fhillte, ach a bheil iad nam fìor-àireamhan.
Tha machlag fhìor-àireamhan neo-àicheil ma tha gach eileamaid dhith neo-àicheil. Tha machlag làn-neo-àicheil ma tha detèirmeanant gach fo-mhachlaig ceàrnagaich dhith neo-àicheil cuideachd.
[deasaich] Fuincsean an t-Soidhne
Tha fuincsean ann thar nam fìor-àireamhan ris an canar am fuincsean signum (Laidinn – soidhne), sgn(x), far a bheil:
Mur eil x = 0:
far a bheil |x| na dhearbh luach x.
[deasaich] Àireamhachd le àireamhan soidhneach
[deasaich] Cur-ris agus toirt air falbh
Gabhar a bheachdachadh air àireamhan àicheil mar gum b' e fiachan a th' annta nuair a tha àireamhan air an cur-ris agus air an toirt air falbh.
'S e an aon rud cur-ris àireimh àicheil agus toirt air falbh àireimh deirbhe:
-
- 5 + (−3) = 5 – 3 = 2.
Ma tha €5 agad agus fiach €3 ort, 's e €2 an luach lom agad.
-
- −2 + (−5) = −2 – 5 = −7
Ma tha fiach $2 ort agus gheibh thu fiach $5, 's e $7 am fiach gu lèir ort.
Le bhith a' toirt air falbh àireimh deirbhe bho àireimh dheirbh nas lugha, 's e àireamh àicheil a th’ anns a’ bhuil:
-
- 4 − 6 = −2
Ma bha £4 agad ach chosg thu £6, 's e am fiach £2 a bhiodh ort.
'S e toirt air falbh àireimh àicheil an aon rud ri cur-ris na h-àireimh deirbh co-fhreagarraich:
-
- 5 – (−2) = 5 + 2 = 7.
Ma tha luach lom €5 agad agus gheibh thu cuidhteas fiach €2, 's e €7 an luach lom ùr agad.
-
- –8 – (−3) = –8 + 3 = –5.
Ma tha fiach €8 ort ach gheibh thu cuidhteas fiach €3, 's e €5 am fiach air fhàgail ort.
[deasaich] Iomadachadh
'S e àireamh àicheil a th’ ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh dheirbh: −2 × 3 = −6. Agus 's e àireamh dhearbh a th' ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh àicheil: −4 × −3 = 12.
Tha dòigh ann seo a thuigsinn ma bheachdaicheas tu air iomadachadh le àireimh dheirbh mar ath chur-ris. San dòigh seo, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 agus −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. 'S ann an aon dòigh b' e iomadachadh le àireimh àicheil an aon rud ri ath thoirt air falbh. Mar eisimpleir: 3 × −2 = −3 − 3 = −6.
Le bhith nas foirmeile, 's e àireamh dhearbh air a h-iomadachadh le −1 a th’ ann an àireimh àicheil:
-
-
−a = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + ... agus a dhiubh. = (−1) × a
-
Nise,
-
- a × −b = a × (−1) × b
...agus chionns gu bheil iomadachadh co-iomlaideach agus co-thiomsach:
-
-
a × −b = (−1) × ab = −ab
-
San aon dòigh:
-
-
−a × −b = (−1) × a × (−1) × b = (−1) × (−1) × ab = −(−1) × ab
-
Airson −(−1) a dh' fhuasgladh, thoir an aire gu bheil:
-
-
c – c = 0 c + (–c) = 0
-
...agus ma tha c = −1:
-
-
−1 + (–(−1)) = 0 –(−1) − 1 = 0 ∴ –(−1) = 1 ∴ −a × −b = −(−1) × ab = ab
-
[deasaich] Roinneadh
Tha na riaghailtean seo freagarrach cuideachd do roinneadh. Ma tha àireamh dhearbh air a roinn le àireimh àicheil, no àireamh àicheil air a roinn le àireimh deirbh, ’s ann àicheil a’ bhuil:
-
-
4 ÷ -2 = -2 -6 ÷ 3 = -2
-
Ma tha an duais-roinn agus an roinniche dearbh am fear, no àicheil am fear, 's ann dearbh an roinn-àireamh.
-
-
8 ÷ 4 = 2 -12 ÷ -2 = 6
-
[deasaich] Togail foirmeil nan àireamhan àicheil is neo-àicheil
'S e na leanas togail foirmeil nan àireamhan àicheil agus neo-àicheil bho na h-àireamhan nàdarra.
Cruthaicheamaid àlach ùr, canaidh sinn Z ris, de càraidean òrdaichte àireamhan nàdarra (a, b).
-
- Z = { (a, b) : a, b ∈ N }
Canaidh sinn gum bi dà eileamaid den àlach seo (a, b) agus (c, d) co-ionnan, ma tha:
-
- a + d = b + c
agus mas fìor seo, sgrìobhamaid sin:
-
- (a, b) ~ (c, d)
Cuiridh sinn òrdugh air na h-eileamaidean cuideachd agus sgrìobhaidh sinn:
-
- (a, b) ≤ (c, d)
ma tha
-
- a + d ≤ b + c.
Nise, cuiridh sinn dà obrachadh càraideach + agus × ris an àlach Z far a bheil:
-
-
(a, b) + (c, d) ~ (a + c, b + d) (a, b) × (c, d) ~ (ac + bd, bc + ad)
-
Chionns gu bheil a + c, b + d, ac + bd agus bc + ad uile nam buill de dh’ àlach nan àireamhan nàdarra, tha an dà obrachadh seo dùinte, oir 's e buill de Z a tha buil nan obrachaidhean os cionn.
Ma tha eileamaid ann (m, n) den àlach nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh +, gabhar a sgrìobhadh:
-
-
(a, b) + (m, n) ~ (a, b) (a + m, b + n) ~ (a, b)
-
'S e sin ri ràdh:
-
-
a + m + b = b + n + a ∴ m = n
-
agus gum biodh eileamaid sam bith den riochd (n, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh +. Canamaid neoni ri eileamaid den t-seòrsa seo.
Ma tha eileamaid ann (m, n) den àlach nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh ×, gabhar a sgrìobhadh:
-
-
(a, b) × (m, n) ~ (a, b) (am + bn, bm + an) ~ (a, b)
-
An luib seo:
-
-
am + bn + b = bm + an + a ∴ (a – b)m = (a – b)(n + 1) ∴ m = n + 1
-
Bhiodh eileamaid sam bith den riochd (n + 1, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh ×. Canamaid a h-aon ri eileamaid sam bith den t-seòrsa seo.
Nise, gabhar a dhearbhadh gu furasta gum bi:
-
- (n + 1, n) + (n + 1, n) ~ (n + 2, n)
- (n + 2, n) + (n + 2, n) ~ (n + 4, n)
- (n + 2, n) × (n + 3, n) ~ (n + 6, n)
Ma th' ann eileamaid den àlach (m, n) far a bheil:
-
- (a, b) + (m, n) ~ (n, n)
- (a + m, b + n) ~ (n, n)
-
-
a + m + n = b + n + n a + m = b + n ∴ m = b; n = a
-
-
- ∴ (a, b) + (b, a) ~ (n, n)
'S e eileamaidean iom-thionndaidh a tha ann (b, a) agus (a, b) airson an obrachaidh +. Mar eisimpleirean:
-
- (n + 1, n) + (n, n + 1) ~ (n, n)
- (n + 2, n) + (n, n + 2) ~ (n, n)
Gabhar a dhearbhadh cuideachd gu bheil:
-
- (n, n + 1) < (n, n) < (n, n + 1)
Tha e air a bhith a' fàs soilleir gu bheil cuid de dh' eileamaidean an àlaich seo ceart cho-ionnan ris na h-àireamhan nàdarra fhèin:
-
-
(n + 1, n) ≡ 1 (n + 2, n) ≡ 2 (n + 3, n) ≡ 3 (a, b) ≡ a – b
-
Tha seo fìor ma tha a' chiad bhall den chàraid òrdaichte nas mò nan dara fear. Mas e an dara fear as mò, chan eil àireamh nàdarra ann a tha co-ionnan ris, ged nach eil e gu diofar anns an àlach Z a bheil a > b no b > a. Ri linn sin, canaidh sinn gu bheil eileamaid (a, b) den àlach Z dearbh ma tha a > b, neoni ma tha a = b, agus àicheil ma tha a < b. An àite càraidean àireamh (a, b), dèanar feum de dh’ fhigearan àireamhan nàdarra mar a leanas...
'S e àlach nan slàn-àireamhan a th' anns an Z, anns a bheil x agus –x nan eileamaidean (àireamhan) iom-thionndaidh fon obrachadh + (cur-ris).
