Théorème de Noether (mathématiques)

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Le théorème de Noether est un théorème de géométrie symplectique.

Soit $M$ une variété différentielle de dimension $n$ et $L$ un lagrangien indépendant du temps sur $M$ , c'est-à-dire une fonction différentiable $L:TM\rightarrow R$ . Une symétrie est un difféomorphisme $f:M\rightarrow M$ tel que l'on ait :

$L\circ\mathrm df=L$

Une symétrie infinitésimale du lagrangien $L$ est un champ de vecteurs $V$ sur $U$ tel que le groupe à un paramètre engendré $s\mapsto \Phi_s$ soit un groupe de symétries de $L$ . Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange de $L$ .

Théorème — Si $L:TM\rightarrow R$ est un lagrangien indépendant du temps, et que $V$ est une symétrie infinitésimale de $L$ , alors la fonction $G$ définie sur $T M$ par :

$G(w)=\partial_{\mathcal{V}}L(w)(V\circ\pi(w))$

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à $L$ .

Comme usuellement, $\partial_{\mathcal{V}}L(w)$ désigne la différentielle verticale de $L$ en $w$ , vue comme une forme linéaire sur $T π(w) M$ .

Démonstration

Introduisons $s\mapsto \Phi_s$ , le groupe à un paramètre de difféomorphismes de $V$ . Dérivons par rapport à $s$ en $s = 0$ l'équation :

$L\left[\mathrm d\Phi_s(w)\right]=L(w)$

On trouve la condition que doit satisfaire $V$ pour être une symétrie infinitésimale du lagrangien $L$ :

$\partial_{\mathcal{H}}L(w)(V\circ\pi(w))+ \partial_{\mathcal{V}}L(w)\left[\nabla_wV\right]=0$

où a été introduite une métrique riemannienne arbitraire sur $M$ . Le symbole $\partial_\mathcal{H}$ désigne la différentielle horizontale. La dépendance de l'équation ci-dessus en la métrique est superficielle. Soit $t\mapsto q(t)$ une solution des équations d'Euler-Lagrange. Alors, il vient :

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\dot{q}(t))&= \left[\nabla_t \partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\right]\left(W(q(t))\right)+\partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right] \\ & = \partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[W(q(t))\right]+\partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right] \\ & =0 \end{align}$

D'où le résultat.

[modifier] Applications

[modifier] Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse $m$ dans un champ de forces dérivant d'un potentiel $V = V (r)$ ne dépendant que du rayon $r$ . C'est le problème variationnel associé au lagrangien $L$ sur $\R^3$ :

$L(w)=\frac{m}{2}\|w\|^2-V(r)$

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe $D$ est engendré par un champ de vecteurs de la forme :

$V(q)=\Omega\wedge q$

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

$G_{\Omega}(q,w)=m\dot{q}\cdot \left[\Omega\wedge q\right]=-\Omega\cdot m\left(q\wedge \dot{q}\right)$

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation $Ω$ , on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :