Théorème de Helmholtz-Hodge

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Le théorème de Helmholtz-Hodge est un théorème d'analyse vectorielle qui exprime la décomposition d'un champ vectoriel en une partie « polaire » et une partie « axiale ».

Théorème de Helmoltz — Soit un champ de vecteurs $\vec{V}(M)$ « créé » par une source scalaire $ρ(M)$ (sa divergence) et par une source de vortex $\vec{j}(M)$ (son rotationnel), sources dont les supports sont compacts, ( soit (D) le domaine qui les borne) ; et une condition aux limites : le champ s'annule à l'infini comme $O (1 / r 2)$ . Alors les conditions :

$\vec{\nabla} \cdot \vec{V}(M) = \rho(M)$ ,
$\vec{\nabla} \wedge\vec{V}(M)= \vec{j}(M)$ ,
$\vec{V}(M)$ s'annule à l'infini,

entraînent $\vec{V}(M) = \vec{E}(M) + \vec{B}(M)$ , où

$\vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \cdot \rho(P)\cdot \frac{\vec{PM}}{PM^3}$
$\vec{B}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \cdot \vec{j}(P) \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$

Les notations sont issues de l'électrostatique et de la magnétostatique. Évidemment, le théorème s'applique aussi en mécanique des fluides, en sismologie, etc.

[modifier] Démonstration de la décomposition

On donnera ici la démonstration plus précise pour un domaine compact (D), avec B(M) parallèle à la frontière de (D). Alors :

Théorème — V(M) se décompose de manière unique en E(M) + B(M).

Lemme d'orthogonalité sur (D) — Les deux composantes sont orthogonales sur (D).

$\iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \vec{B}(P) \cdot \vec{E}(P) = 0$

En effet, on pose

$\vec{E}(M) = - \overrightarrow\operatorname{grad}\,p(P)$ ;

c'est possible puisque son rotationnel est nul. Alors puisque

$\operatorname{div} (p\vec{B}) = p \cdot \operatorname{div} \vec{B} + \overrightarrow\operatorname{grad}\,p \cdot \vec{B}$ ,

il s'ensuit par le théorème de flux-divergence que :

$\int_D \mathrm{d}\tau_P \cdot \vec{B}(P)\cdot \vec{\operatorname{grad}}\,p(P)= \int_D \mathrm{d}\tau_P \cdot \operatorname{div}\bigl(p(P)\cdot \vec{B}(P)\bigr) = \int_{\partial D} \mathrm{d}S_Q \cdot p(Q)\vec{B}(Q)\cdot \vec{n}(Q) = 0$

Lemme d'unicité — La décomposition en B(M) et E(M) est unique.

Démonstration par l'absurde : prendre la différence des 2 champs V1 et V2 et prendre sur (D) son produit scalaire avec B1-B2 : il va rester en vertu du lemme précédent uniquement la norme sur (D) de B1-B2, nulle : donc B1(M) = B2(M) et donc p1(M) = p2(M).

Lemme d'existence — La divergence de V(M) est le laplacien de p(M) ; et sur la frontière V(Q).n(Q) donne une condition de Neumann sur p(Q) : le problème est donc un problème de Neumann, et donc p(M) existe et est unique, donc E(M) existe et est unique, donc sa différence avec V(M) soit -B(M) existe et est unique. $\square$

[modifier] Formule d'Helmholtz

Le problème de la frontière est reporté à une sphère de très grand rayon que l'on fait tendre vers l'infini. En tout point Q de cette frontière, B(Q) est quasiment nul , donc la condition précédente est valable. Quant à l'intégrale sur la frontière , avec B(Q) qui décroît comme 1/r³ , l'intégrale est majorée par K/r qui tend vers zéro. Le théorème précédent s'applique aussi au cas d'Helmholtz.

Le problème est linéaire : on ajoute donc la solution « électrostatique » et la solution « magnétostatique ». $\square$