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Opérateur laplacien vectoriel - Wikipédia

Opérateur laplacien vectoriel

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Article d'analyse vectorielle
Champ vectorielChamp scalaire
Objets d'étude
Champ vectoriel Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace de Poisson
Opérateurs
Nabla Gradient
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Laplacien vectoriel D'alembertien
Théorèmes
de Green de Stokes
de Helmholtz de flux-divergence
du gradient du rotationnel

En analyse vectorielle, le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel pour les champs vectoriels.

[modifier] Expressions

Le laplacien d'un champ vectoriel \vec A est un champ vectoriel défini par :

\vec\Delta \vec A = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec A\right) - \overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec A\right) = \vec\nabla^2\vec A

En coordonnées cartésiennes, il correspond au laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel :

\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix}\Delta A_x\\\Delta A_y\\\Delta A_z\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{bmatrix}

En coordonnées cylindriques, il donne :

\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_r}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial r} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{A_r}{r^2} \\ \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial r} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{r^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial r} \end{bmatrix}

Et pour finir, en coordonnées sphériques, il s'écrit :

\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix} 
\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_r)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2 \cdot \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} - \frac{2A_r}{r^2} - \frac{2 \cot \theta}{r^2} A_\theta \\
\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \\
\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_\phi)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\phi}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\phi}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\phi}{\partial \theta} + \frac{2}{r^2 \cdot \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{r^2 \cdot \sin^2 \theta}
\end{bmatrix}

[modifier] Applications

Le laplacien vectoriel est présent :

[modifier] Voir aussi

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