Spline

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Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes.

Dans les problèmes d'interpolation, la méthode des splines est souvent préférée à l'interpolation polynomiale, car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant le phénomène de Runge.

Dans le domaine du design, en construction automobile par exemple, les splines sont utilisées pour approcher des contours complexes. Leur simplicité d'implémentation les rend très populaires et elles sont fréquemment utilisées dans les logiciels de dessin.

[modifier] Définition

Étant donnés k points t_i appelés nœuds dans un intervalle [a,b] avec

$a=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-2} < t_{k-1} = b$

La courbe S

$S:[a,b] \to \mathbb{R}$

est appelée spline de degré n si

$S \in \mathrm{C}^{n-1}(a,b)$

et sa restriction sur chaque sous-intervalle

$S_{[t_i,t_{i+1}]} \in P_n \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$ où

P n

est l'ensemble des polynômes de degré n.

En d'autres termes, sur chaque sous-intervalle

$[t_i,t_{i+1}] \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$

S est un polynôme de degré n.

Les (t_i, S(t_i)) sont appelés points de contrôle.

[modifier] Exemple

La fonction spline la plus simple est de degré 1, ce qui correspond à un polygone.

La plus couramment utilisée est la spline de degré 3 qui vérifie la propriété suivante :

$S''(a) = S''(b) = 0$

En dehors de l'intervalle, la courbe est une ligne droite tout en conservant le lissage.

[modifier] Étymologie

«Le mot anglais spline a malencontreusement prévalu, alors qu'il se traduit en français par les substantifs latte ou baguette». Pierre BEZIER, Courbes et surfaces pour la CFAO, Techniques de l'ingénieur, Mathématiques pour l'ingénieur.

The Oxford English Dictionnary 1989 donne les définitions suivantes pour le mot spline: «a long narrow, and relatively thin piece or strip of wood, metal, etc.; a slat. A flexible strip of wood or hard rubber used by draftsmen in laying out broad sweeping curves, especially in railroad work».

Les menuisiers, charpentiers et autres escaliéteurs auront reconnu la cerce, latte souple en bois bien de fil qui sert à tracer les courbes quelconques (Courbes harmonieuses passant par un certain nombre de points mais ne pouvant être tracées à l'aide du compas).

Le curvigraphe est aussi un synonyme d'un tel pistolet de dessin souple.

[modifier] Prononciation

spline se prononce [splain], ce qui le distingue de spleen [spli:n]

[modifier] Liens internes

[modifier] Liens externes

Voir « spline » sur le Wiktionnaire.

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/spline/ (en anglais)

[modifier] Références

(fr) Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS, G Demengel, JP Pouget, éditions ellipses (Approche pédagogique pour dévoiler la boîte noire de ces modèles utilisés en CAO pour la modélisation des courbes et des surfaces.)
(fr) 'Systemes De Cfao', 'Etudes En Cfao Cao Mecanique ','Elements De Cao Volume 1 Materiels Et Logiciels De Base', 'Cao Mécanique', 'Systèmes De C.F.A.O. : Conception Et Fabrication Assistées Par Ordinateur : - Introduction Dans L'entreprise, Méthode De Réalisation ', 'La Cfao - Introduction, Techniques Et Mises En Oeuvre, 3ème Édition Revue Et Corrigée ', 'La Cfao ', Yvon Gardan, Livre, édition Hermes, (modèles CSG, Spline, B-REP, modeleur paramétrique ou variationnel ect...)