Produit semi-direct

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Dans la théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct.

[modifier] Première définition

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

$H\cap K=\{1\} \text{ et } G=HK$
$\forall x \in G, \exists ! (x_1, x_2) \in H \times K \ / \ x = x_1 x_2$

(Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K)

La restriction à K de la surjection canonique $G\to G/H$ est un isomorphisme entre K et G/H.
La surjection canonique $G\to G/H\to 1$ se scinde par un morphisme s tel que s(G/H)=K.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

$g_1 = h_1k_1 \text{ et } g_2 = h_2k_2\$

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

$g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\$

décomposé en un élement $h_1k_1h_2k_1^{-1}$ de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément $k 1 k 2$ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1h_2k_1^{-1}),k_1k_2)$

$\forall k \in K,\quad f : h \in H \to khk^{-1} \in H$ est un automorphisme de H. Notons-le $f (k)$ . En outre, l'application $f$ de K dans Aut(H), qui à $k$ associe $f (k)$ est un morphisme de groupes.

[modifier] Définition générale

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ , et un morphisme $\scriptstyle f$ de $\scriptstyle K$ dans le groupe des automorphismes $\scriptstyle {\rm Aut}(H)$ étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $\scriptstyle G$ de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ suivant $\scriptstyle f$ comme le produit cartésien de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ muni de la loi de groupe :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1f(k_1)(h_2),k_1k_2)~$

où l'inverse d'un élément $\scriptstyle \left(h,k\right)$ est $\scriptstyle \left(f(k^{-1})h^{-1},\ k^{-1}\right)~$ .

On peut injecter $\scriptstyle H$ dans $\scriptstyle G$ par l'application $\scriptstyle h\ \mapsto\ (h, e_K)$ , et injecter $\scriptstyle K$ dans $\scriptstyle G$ par l'application $\scriptstyle k\ \mapsto\ (e_H, k)~$ . On vérifie alors que $\scriptstyle G$ est le produit semi-direct interne de $\scriptstyle H$ par $\scriptstyle K$ au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme $\scriptstyle f(k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $\scriptstyle k$ . On note :

$G = H \rtimes K$

Le cas où $\scriptstyle f$ est le morphisme trivial de groupe (ie $f (k 1)(h 2) = h 2$ ) correspond au produit direct.

[modifier] Exemples

Les groupes diédraux peuvent par exemple être considérés comme produit semi-direct d'un groupe cyclique par un groupe cyclique d'ordre 2, ce dernier agissant par inversion sur le premier. Le groupe cyclique est engendré par une rotation, le groupe d'ordre 2 par une réflexion.

Le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.