Produit direct (groupes)

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En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des groupes, le produit direct est une méthode permettant, à partir de plusieurs groupes, d'en construire un nouveau.

Le produit direct correspond à une extension dans le sens où la structure obtenue contient des sous-structures isomorphes à celles définissant le produit. Cette méthode, appliquée aux groupes permet de classifier les trois grands cas de groupes abéliens : ceux fini, ceux de type fini et les groupes de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes.

Dans tout cet article, n est un entier strictement positif, (G₁,*₁), (G₂,*₂) ... (G_n,*_n) désignent des groupes, d'éléments neutres respectifs e₁, e₂, ..., e_n.

[modifier] Motivation

Le produit direct correspond à l'opération du produit cartésien avec le transfert de l'opération des groupes. Une généralisation du produit cartésien pour rendre compatible une structure algébrique est fréquente, on peut citer par exemple l'espace vectoriel, le module sur un anneau, l'algèbre sur un corps ou encore dans une moindre mesure (car l'intégrité, si elle existait, disparait) l'anneau.

Cette approche offre un premier service : le produit direct est un outil permettant de construire de nouveaux groupes, il étend ainsi le nombre d'exemples aisément accessibles pour étudier la théorie.

Il existe un autre intérêt plus profond, celui de la classification des éléments de la structure étudiée. La classification permet de connaître, pour chaque élément les propriétés exactes dont il bénéficie ainsi que les autres éléments de la structure bénéficiant des mêmes propriétés. Un exemple de classification est celui des espaces vectoriels sur un corps K de dimension finie. La dimension classifie exactement tous ces espaces vectoriels.

Une approche fréquente est celle de l'extension, elle consiste, à partir par exemple d'un groupe, à construire un nouveau groupe contenant le précédent. En ce sens, le produit direct est une extension d'un groupe. Cette méthode, d'extension par produit, est celle utilisée pour les espaces vectoriel et tout espace vectoriel sur K de dimension finie est isomorphe à un produit de l'espace vectoriel K (de dimension un). Plus l'espace des objets construits grâce à l'extension est vaste, plus le champ d'application de l'extension est large.

Dans le cas des groupes, le produit direct est une technique d'extension couvrant très largement le cas commutatif. Si le groupe est abélien et possède suffisamment de bonnes propriétés, alors il est produit direct de groupes abéliens de la même catégorie et sa structure est particulièrement simple. Les trois cas les plus importants sont cités dans cet article.

Dans le cas non abélien, d'autres méthodes d'extension sont nécessaires, c'est la raison d'être, par exemple du produit semi-direct.

[modifier] Exemples

[modifier] Groupe de Klein

Article détaillé : Groupe de Klein.

Soit G l'unique groupe d'ordre deux, isomorphe au groupe cyclique d'ordre deux Z/2Z. Sa table est la suivante :

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Le groupe produit GxG est un groupe de quatre éléments dont la table est la suivante:

+	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,0)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,1)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
(1,0)	(1,0)	(1,1)	(0,0)	(0,1)
(1,1)	(1,1)	(1,0)	(0,1)	(0,0)

Le groupe obtenu est isomorphe au groupe de Klein, le seul groupe abélien d'ordre quatre, dont tous les éléments ont eux-même pour inverse.

[modifier] Produit trivial

Soit {e} le groupe réduit à un élément, Gx{e} est un produit de groupe isomorphe à G. On parle alors de produit trivial.

[modifier] Groupe cyclique

Article détaillé : Groupe cyclique.

Il est possible de se poser la question inverse, soit G un groupe, par exemple un groupe cyclique d'ordre g, G est-il un produit non trivial de certains de ses sous-groupes. La réponse est donnée par le Théorème des restes chinois.

G est isomorphe à un produit non trivial de sous-groupes si et seulement s'il existe deux entiers a et b premiers entre eux tel que leur produit soit égal à g.

Dans ce cas, G est isomorphe au produit direct des deux groupes Z/a.Z et Z/b.Z.

Remarque : La démonstration est donnée dans l'article associé.

[modifier] Clôture algébrique de F₂

F₂ est l'unique corps fini à deux éléments (à un isomorphisme près). La clôture algébrique K de F₂ correspond au plus petit sous-corps (à un isomorphisme près) contenant F₂ et tel que tout polynôme à coefficients dans K de degré supérieur ou égal à un admette au moins une racine. (K, +) par définition de la structure de corps est un groupe. On démontre qu'il est d'ordre infini et que :

$\mathbb K \approx \prod_{i \in \mathbb N} \mathbb Z/2\mathbb Z \;$

Le signe $\approx$ désigne ici un isomorphisme de groupe. K est un exemple de produit direct infini de groupes, il correspond au seul groupe dénombrable tel que tout élément est son propre inverse.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés élémentaires

Dans le cas où G₁ et G₂ sont de cardinaux finis, les propriétés du produit cartésien montrent que :

L'ordre de G est égal au produit des ordres de G₁ et G₂.
Si G₁ et G₂ sont deux groupes abéliens alors leur produit direct l'est aussi.

Cette propriété est une conséquence directe de la définition. En effet, si G₁ et G₂ sont deux groupes abéliens :

$\forall (x_1,x_2), (y_1,y_2) \in G \quad (x_1,x_2)*(y_1,y_2)=(x_1*_1y_1,x_2*_2y_2)=(y_1*_1x_1,y_2*_2x_2)=(y_1,y_2)*(x_1,x_2)$

Dans le cas général, notons i₁ (resp. i₂) l'application de G₁ (resp. G₂) dans G qui à x associe (x, e₂) (resp. (e₁, x). Le sous-groupe image de i₁ (resp. i₂) est noté H₁ (resp. H₂). Enfin l'application s₁ (resp. s₂) de G dans G₁ (resp. G₂) est défini par s₁(x₁, x₂) = x₁ (resp. s₂(x₁, x₂) = x₂).

Les applications i₁ et i₂ sont des morphismes injectifs.
Les applications s₁ et s₂ sont des morphismes surjectifs.
Les deux suites suivantes sont des suites exactes.

$e_1\xrightarrow{}G_1\xrightarrow{i_1}G=G_1\times G_2\xrightarrow{s_2}G_2\xrightarrow{}e_2 \quad et \quad e_2\xrightarrow{}G_2\xrightarrow{i_2}G=G_1\times G_2\xrightarrow{s_1}G_1\xrightarrow{}e_1$

[modifier] Sous-groupes H₁ et H₂

Ici, H₁ et H₂ désignent les sous-groupes G₁ x {e} et {e} x G₂. Les sous-groupes H₁ et H₂ possèdent des propriétés caractéristiques d'un produit de groupes :

H₁ (resp. H₂) est un sous-groupe distingué isomorphe à G₁ et (resp. G₂).

En effet, H₁ est l'image de G₁ par i₁ un morphisme injectif, les deux structures sont donc isomorphes. De plus H₁ est le noyau de s₂, c'est donc un sous-groupe distingué. Un raisonnement analogue montre le résultat équivalent pour H₂.

Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂.

Cette proposition est une conséquence immédiate de la définition de produit direct :

$\forall x \in G \quad \exists ! (x_1,x_2) \in G=G_1 \times G_2 \quad donc \quad x=(x_1,e_2)*(e_1,x_2)$

Tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂.

Par définition un élément de H₁ (resp. H₂) est de la forme (x₁, e₂) (resp. (e₁, x₂)), en conséquence :

$\forall (x_1,e_2) \in H_1 \; \forall (e_1,x_2) \in H_2 \quad (x_1,e_2)*(e_1,x_2)=(e_1,x_2)*(x_1,e_2)=(x_1,x_2)$

[modifier] Réciproque

La problématique réciproque est la suivante, soit G un groupe, existe-t-il deux sous-groupes H₁ et H₂ de G non triviaux (c’est-à-dire différents de {e} et G) tel que G soit isomorphe au produit direct de H₁ et H₂ ?

La réponse est parfois positive, comme le montre l'exemple des groupes cycliques. Ce n'est pas toujours le cas, le groupe symétrique d'ordre trois, contenant les permutations d'un ensemble de trois éléments, contient six éléments. Les seuls sous-groupes non triviaux ont pour cardinal deux ou trois. Or les seuls groupes de cardinal deux ou trois sont des groupes cycliques donc abéliens. Comme le produit direct de deux groupes abéliens est abélien et que le groupe symétrique d'ordre trois est non commutatif, il n'est pas produit direct non trivial de deux sous-groupes.

[modifier] Condition nécessaire et suffisante

Soit H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G, les propriétés élémentaires offrent une condition nécessaire pour qu'ils correspondent à un produit direct. Tout élément de G s'écrit comme produit d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂ et tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂. Cette condition n'est pas seulement nécessaire, mais aussi suffisante :

L'application φ de H₁xH₂ dans G qui, à (h₁, h₂) associe h₁*h₂ est un isomorphisme de groupe, si et seulement si :

$(i)\quad \forall (h_1,h_2) \in H_1 \times H_2 \quad h_1*h_2=h_2*h_1$

$(ii)\quad \forall g \in G \quad \exists ! (h_1,h_2) \in H_1 \times H_2 \quad tel\; que \quad g=h_1*h_2$

Le fait que φ soit un morphisme provient directement de la condition (i), en effet :

$\forall (h_1,h_2) (k_1,k_2)\in H_1 \times H_2\quad \varphi\Big((h_1,h_2)(k_1,k_2)\Big)=\varphi\Big(h_1*k_1,h_2*k_2\Big)=h_1*k_1*h_2*k_2 =h_1*h_2*k_1*k_2=\varphi(h_1,h_2)*\varphi(k_1,k_2)$

La condition (ii) exprime exactement le fait que φ est bijective. La démonstration est donc achevée.

[modifier] Somme directe

Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes de G. On dit que la somme de H₁ et de H₂ est égale à G si et seulement si le groupe engendré par les éléments de H₁ et de H₂ est égal au groupe entier G et si tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂.

Si, de plus l'intersection de H₁ et de H₂ est réduit à l'élément neutre, alors la somme est dite directe et la notation suivante est utilisée :

$G=H_1\oplus H_2$

La somme directe de H₁ et de H₂ est égale à G si et seulement si tout élément de G s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂.

Cette définition se généralise à n sous-groupes.

La somme directe possède bien des analogies avec son homologue en algèbre linéaire (cf. Somme directe). Soit H₁ et H₂ deux sous-groupes de G, alors :

La somme directe de H₁ et de H₂ est égale à G, si G est isomorphe au produit direct de H₁ et de H₂.

Démonstrations

La somme de H₁ et de H₂ est égal à G et est directe si et seulement si tout élément de G s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂.

Supposons que tout élément de G s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂. Alors soit h un élément de l'intersection de H₁ et de H₂, 1_{G _{s'écrit comme somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂ des deux manières suivantes: 0 + 0 et h - h. On en déduit que h est égal à 0. Si tout élément s'écrit comme la somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂ alors l'union de H₁ et de H₂ engendre G. Et la somme directe de H₁ et de H₂ est bien égale à G.}}

Supposons que la somme directe de H₁ et H₂ est égal à G. Soit alors deux écritures d'un même élément comme somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂: h₁ + k₁ et h₂ + k₂. On en déduit que les deux expressions h₁ - h₂ et k₂ - k₁ sont égales. Ces deux expressions sont membres de l'intersection de H₁ et de H₂. Elles sont donc nulles, ce qui montre l'égalité entre h₁ et h₂ (respectivement entre k₁ et k₂). Ce qui démontre l'unicité de l'écriture d'un élément de G comme somme d'un élément de H₁ et de H₂. Si la somme de H₁ et de H₂ est égale à G alors la démonstration précédente montre que le caractère abélien de G implique l'existence d'une écriture de la forme h + k où h est élément de H₁ et k de H₂ pour chaque élément de G.

Si la somme directe de H₁ et de H₂ est égale à G alors G est isomorphe au produit direct de H₁ et de H₂.

Supposons que la somme directe de H₁ et de H₂ soit égale à G. Soit φ l'application de H₁xH₂ dans G qui, à tout élément (h,k) associe h+k. φ est clairement un morphisme de groupe.

Montrons que φ est surjectif.

La somme de H₁ et de H₂ est égale à G. En conséquence, si a est un élément de G Il existe donc une suite finie d'éléments de H₁ et de H₂ dont la somme est égale à a. Comme le groupe G est abélien, il est possible de permuter les termes de telle manière à avoir dans la somme d'abord les éléments de H₁, puis les éléments de H₂. On en déduit que a est somme d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂. Ces deux éléments forment l'antécédent de a par l'application φ.

Montrons que φ est injectif.

Avec des notations évidentes, supposons que (h,k) un soit élément du noyau de φ. Il vérifie h + k = 0, en conséquence h est un élément de H₁ égal à -k donc est aussi élément de H₂. Comme la somme est directe h est égal à 0 et donc k aussi. Ce qui termine la démonstration.

[modifier] Projecteur

Une approche, un peu analogue à celle des espaces vectoriel, donne une équivalence entre un produit direct et un morphisme particulier appelé projecteur. Soit G un groupe, H₁ et H₂ deux sous-groupes de G tel que l'application φ du paragraphe précédent soit un isomorphisme. Alors tout élément g de G s'écrit de manière unique h₁*h₂ où h_i est élément de H_i. Soit p l'application de G dans G qui à g associe h₁. Elle bénéficie des propriétés suivantes :

La fonction p est un morphisme de groupe, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

Ici o désigne la composition des fonctions.

L'analogie avec les espaces vectoriels donne lieu à la définition suivante :

Un projecteur p de G est un morphisme de G dans G tel que tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

La donnée d'un projecteur permet une décomposition de G en produit direct :

Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Dans le cas où G est abélien, tout morphisme dont le carré est égal à lui-même est un projecteur, en effet tout élément du groupe commute avec tout élément du groupe.

Cette propriété peut se reformuler de la manière suivante. Toute suite exacte :

$1\to H\to G\to G/H\to1$

telle que G est abélien, et qu'il existe une section G/H dans G qui se factorise en un produit direct $\scriptstyle G\simeq H\times G/H$ .

Démonstrations

La fonction p est un morphisme de groupe, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

En effet, montrons p est un morphisme :

$\forall g,g'\in G \quad \exists ! h_1,h'_1\in H_1 \; \exists ! h_2,h'_2\in H_2 \quad tel \; que \quad g=h_1*h_2\; ,\;g'=h'_1*h'_2 \; et\; g*g'=(h_1*h'_1)*(h_2*h'_2)$ $donc \quad p(g)*\varphi(g')=h_1*h'_1=p\Big((h_1*h'_1)*(h_2*h'_2)\Big)=p(g*g')$

Montrons que pop est égal à p. Soit g = h₁*h₂ un élément quelconque de G, p(g) = h₁. De plus, h₁ s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H₁ et d'un élément de H₂ de la manière suivante h₁=h₁*e, donc p(h₁)=h₁, et la proposition est démontrée.

Montrons que tout élément de l'image de p commute avec tout élément du noyau de p. L'image de p est inclus dans H₁, la proposition précédente montre l'inclusion inverse donc l'image de p est égale à H₁. Montrons alors que le noyau de p est égal à H₂. Par construction de p tout élément du noyau s'écrit e*h₂ avec h₂ élément de H₂ ce qui démontre l'égalité. Le paragraphe précédent montre alors le résultat recherché.

Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Il suffit de montrer que tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément h de l'image et d'un élément k du noyau. Soit g un élément de G soit h l'image de g par p et k=g*h^-1. Par construction, h est élément de l'image de p.

De plus, pop(g) = p(g) = p(h) = h, et donc p(h^-1) = h^-1. En conséquence p(k) = p (g)*p(h^-1)=e, et k est bien un élément du noyau. Tout élément de G s'écrit bien comme produit d'un élément de l'image et d'un élément du noyau.

Supposons deux écritures g = h*k et g = i*l d'un élément g de G comme produit d'un élément de l'image et d'un élément du noyau de p. alors i^-1*h = l*k^-1 et le terme de gauche est un élément de l'image et celui de droite du noyau. Comme les deux termes sont égaux, ils appartiennent à l'intersection. En tant qu'élément de l'image, le terme est invariant par p, en tant qu'élément du noyau son image est égal à e, en conséquence i^-1*h = l*k^-1 = e. Ce qui montre l'unicité de l'écriture.

[modifier] Groupe abélien

Article détaillé : Groupe abélien.

Le cas général ne peut être traité, il est trop vaste, il est donc nécessaire d'apporter des hypothèses supplémentaires. Ces hypothèses correspondent essentiellement à trois cas, traités ici.

[modifier] Groupe abélien fini

Article détaillé : Théorème de Kronecker.

Le cas le plus simple est celui ou le groupe G est fini. Un premier exemple est donné par les groupes cycliques, ils suffisent pour générer, à l'aide du produit direct tous les groupes abéliens finis.

Il existe une suite d'entiers strictement positifs (a₁,a₂,...,a_k) tel que G est isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite.

Ce qui s'écrit de la manière suivante :

$G\simeq \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}$

[modifier] Groupe abélien de type fini

Article détaillé : Groupe abélien de type fini.

Le deuxième cas est d'une nature proche du cas précédent. Il correspond aux groupes contenant une partie génératrice finie. Il existe ainsi au moins un groupe qui n'est pas élément de l'ensemble précédent, celui des entiers Z. On démontre (dans l'article associé) qu'il est l'unique générateur à ajouter pour obtenir tous les groupes abéliens de type fini.

Pour tout groupe abélien G de type fini, il existe un entier n et un groupe fini F tel que G est isomorphe au produit direct de F et de Zⁿ.

[modifier] Groupe de Lie commutatif

Article détaillé : Groupe de Lie commutatif.

Les deux catégories précédentes sont dénombrables. Il existe pourtant des groupes importants qui ne le sont pas, on peut citer par exemple le cas des isométries linéaires du plan utilisé précédemment. Il est alors nécessaire d'adjoindre trois hypothèses : le groupe dispose d'une structure de variété différentielle compatible avec le groupe (on parle de groupe de Lie), l'espace tangent est de dimension finie et le nombre de composantes connexes du groupe est fini. La propriété suivante est alors vérifiée :

Tout groupe de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes est isomorphe à un produit direct d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension finie et d'un tore maximal.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens externes

(fr) Groupe produit par les mathématiques.net

[modifier] Références

S. Lang, Algèbre, Dunod, 2004.
J. F. Labarre, La Théorie des groupes, Presses Universitaires de France, 1978.
G. Pichon Groupes de Lie, représentations linéaires et applications, Hermann , 1973.

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Catégorie : Théorie des groupes

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