Preuve ontologique de Gödel

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La Preuve ontologique de Gödel est une démonstration, dans le système de logique modale, de l'existence de Dieu :

Bien que Gödel ait été croyant, il n'a jamais publié cette preuve car il craignait qu'elle soit interprétée comme l'établissement de l'existence de Dieu au-delà du doute. Au lieu de cela, il ne la voyait que comme une étude logique et une formulation claire des arguments de Leibniz. Il a à plusieurs reprises présenté cette preuve à des amis vers 1970 mais la preuve a été publiée en 1987, neuf années après sa mort.

[modifier] Démonstration

Axiome 1. (Dichotomie) Une propriété est vraie si et seulement si sa négation est fausse.

Axiome 2. (Fermeture) Une propriété est vraie si elle contient nécessairement une propriété vraie.

Théorème 1. Une propriété vraie est logiquement consistante (c'est-à-dire qu'il est possible de trouver au moins un exemple)

Définition. Quelque chose est semblable à Dieu si et seulement s'il contient toutes les propriétés vraies.

Axiome 3. Être semblable à Dieu est une propriété vraie.

Axiome 4. Être une propriété vraie est (logique, donc) nécessaire.

Définition. Une propriété P est l'essence de x si et seulement si x possède P et P est nécessairement minimale.

Théorème 2. Si x est semblable à Dieu, alors être semblable à Dieu est l'essence de x.

Définition. NE(x) : x existe nécessairement s'il a une propriété essentielle.

Axiome 5. Être NE est être semblable à Dieu.

Théorème 3. Il existe nécessairement x tel que x est semblable à Dieu.

[modifier] Critique de la démonstration

Cette démonstration mathématique datant de 1970 mais publiée en 1987 provoqua un vif émoi chez les mathématiciens et logiciens, qui n'étaient pas pour autant capables d'expliquer tous les aspects de cette preuve. Il est peut-être même impossible de comprendre une preuve aussi abstraite, qui est donc à prendre avec précaution.

On remarque toutefois la similitude avec son équivalent chez Spinoza, signe que cette preuve revient à considérer que tout est Dieu, et que par conséquent Dieu existe. Toutefois cette existence n'étant pas discernable du monde, on peut questionner son statut.

[modifier] Critique des définitions et des axiomes

Traduit depuis Gödel's ontological proof

Il y a plusieurs raisons pour que les axiomes de Gödel puissent ne pas être réalistes, selon ce qui suit :

• Il peut être impossible de satisfaire correctement l'axiome 3, qui suppose qu'une conjonction des propriétés positives est également une propriété positive ; pour que la preuve soit recevable, l'axiome doit être pris pour s'appliquer à arbitraire, pas nécessairement fini, des collections de propriétés. D'ailleurs, quelques propriétés positives peuvent être incompatibles avec d'autres. Par exemple la pitié peut être incompatible avec la justice. Dans ce cas la conjonction serait une propriété impossible et G(x) serait faux de chaque x. Ted Drange a fait cette objection à la concordance d'attribuer toutes les propriétés positives à Dieu - voir cet article pour la liste de Drange de propriétés incompatibles et de quelques contre-arguments. Pour ces raisons, cet axiome a été remplacé dans quelques reworkings de la preuve (Anderson y compris, ci-dessous) par la prétention que G(x) est positif (Pos(G(x)).

• Jordan Sobel a argumenté que les axiomes de Gödel sont trop forts : ils impliquent que tous les mondes possibles sont identiques. Il s'est avéré que ce résultat en considérant la propriété "est tel que X est vrai", où X est n'importe quel véritable rapport modal au sujet du monde. Si g est un objet divin, et X est en fait vrai, alors g doit posséder cette propriété, et par conséquent doit la posséder nécessairement. Mais alors X est une vérité nécessaire. Un argument semblable prouve que toutes les faussetés sont des faussetés nécessaires. C. Anthony Anderson a donné un système axiomatique légèrement différent qui essaye d'éviter ce problème.

Dans le système d'Anderson, les axiomes 1, 2, et 5 sont ci-dessus inchangés ; cependant les autres axiomes sont remplacés avec :

• Axiome 3': G(x) est positif.
• Axiome 4': Si une propriété est positive, sa négation n'est pas positive.

Ces axiomes laissent ouverte la possibilité qu'un objet divin possédera quelques propriétés non positives, à condition que ces propriétés soient contingentes plutôt que nécessaires.

Notons également que la définition de être semblable à Dieu (quelque chose qui contient toute les propriétés vraies) ne définit pas nécessairement Dieu, mais seulement un objet que nous appelons ainsi, qui pourrait être appelé univers, tout ou vérité sans modifier la preuve.