Nombre de Liouville

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En théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec $q > 1\,$ et tels que

$0 < |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^n}\,$ .

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant l'inégalité ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Sommaire

1 Irrationalité des nombres de Liouville
2 Constante de Liouville
3 Mesure irrationnelle d'un réel
4 Transcendance des nombres de Liouville
- 4.1 Démonstration du lemme
- 4.2 Démonstration de l'assertion
5 Voir aussi
- 5.1 Lien externe

[modifier] Irrationalité des nombres de Liouville

Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville, pour tout nombre entier positif n, il existe alors un nombre infini de paires d'entiers (p,q) obéissant à l'inégalité ci-dessus : il suffit en effet de prendre des couples (p,q) associés à des entiers m égaux à kn , ils fournissent k couples $(pq^{i-1}, q^i)_{i\in \{1,\cdots, k\}}$ associés à n car

$0 < |x - \frac{pq^{i-1}}{q^i}|= |x - \frac{p}{q}|< \frac{1}{q^m}\, \leq \frac{1}{(q^i)^n}\,$ .

Il est relativement facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, alors x est un nombre irrationnel. Supposons le contraire ; alors il existe des entiers c, d avec $x = \frac{c}{d}\,$ . Soit n un entier positif tel que $2^{n-1} > d\,$ . Alors, il existerait deux entiers p et q tels que

$0 < |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^n}\,$ .

La première partie de l'inégalité prouve que $\frac{p}{q} \ne \frac{c}{d}\,$ , donc

$|x - \frac{p}{q}| = |\frac{c}{d} - \frac{p}{q}| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1} q} \ge \frac{1}{q^n}\,$

ce qui contredit la définition .

[modifier] Constante de Liouville

La constante de Liouville est le réel défini par

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000....$

La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons $p_n\,$ et $q_n\,$ comme suit :

$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{(n! - j!)}; \quad q_n = 10^{n!}$

alors, pour tous les entiers positifs n, nous avons

$|c - p_n/q_n| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n$

La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pense Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendant. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode préconisée par le mathématicien.

[modifier] Mesure irrationnelle d'un réel

La mesure irrationnelle d'un nombre réel x mesure la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la borne supérieure de l'ensemble de nombres réels $\mu\,$ tels que la propriété

$0 < |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{\mu}}\,$

soit satisfaite par un nombre infini de paires d'entiers (p, q) avec q > 0. Pour toute valeur $\mu\,$ inférieure à cette borne supérieure, l'ensemble de tous les rationnels $\frac{p}{q}\,$ satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation fine de x; réciproquement, si $\mu\,$ est plus grand que la borne supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent finement vers x.

Les nombres de Liouville sont précisément les nombres ayant une mesure irrationnelle infinie.

[modifier] Transcendance des nombres de Liouville

En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendants (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant: la constante de Liouville définie plus haut.

Malheureusement, bien que chaque nombre de Liouville soit transcendant, chaque nombre transcendant n'est pas un nombre de Liouville. Il a été démontré que $\pi\,$ est transcendant, mais pas un nombre de Liouville.

La démonstration procède en établissant premièrement la propriété des nombres algébriques irrationnels. Cette propriété dit essentiellement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, donc il ne peut pas être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu habituellement comme le théorème de Liouville (sur l'approximation diophantienne), il existe plusieurs résultats connus comme le théorème de Liouville.

Lemme : Si $\alpha\,$ est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 0 à coefficients entiers, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous les entiers p, q, avec q > 0,

$|\alpha - \frac{p}{q}| > \frac{A}{q^n}\,$ .

[modifier] Démonstration du lemme

Soit M, la valeur maximale de $|f'(x)|\,$ sur l'intervalle $[\alpha-1, \alpha+1]\,$ . Soit $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\,$ les racines distinctes de f qui diffèrent de $\alpha\,$ . Prenons une certaine valeur $A > 0\,$ satisfaisant

$A < min(1, \frac{1}{M}, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|)\,$

Maintenant, supposons qu'il existe certains entiers p, q contredisant le lemme. Alors

$|\alpha - \frac{p}{q}| \le \frac{A}{q^n} \le A < min(1, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|)\,$

Alors $\frac{p}{q}\,$ est dans l'intervalle $[\alpha - 1, \alpha + 1]\,$ ; et $\frac{p}{q}\,$ n'est pas dans $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\}\,$ , et comme $\alpha\,$ est irrationnel, $\frac{p}{q}\ne \alpha\,$ donc $\frac{p}{q}\,$ n'est pas une racine de f.

Par le théorème des accroissements finis, il existe un $x_0\,$ entre $\frac{p}{q}\,$ et $\alpha\,$ tel que

$f(\alpha) - f(\frac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) f'(x_0),$

Puisque $\alpha\,$ est une racine de f mais $\frac{p}{q}\,$ ne l'est pas, nous voyons que $|f'(x_0)| > 0\,$ et nous pouvons réordonner :

$|\alpha - \frac{p}{q}| = \frac{|f(\alpha) - f(\frac{p}{q})|}{|f'(x_0)|} = \frac{|f(\frac{p}{q})|}{|f'(x_0)|}\,$

Maintenant, f est de la forme $\sum_{i=1}^n c_i x^i\,$ où chaque $c_i\,$ est un entier ; donc nous pouvons exprimer $|f(\frac{p}{q})|\,$ comme

$|f(\frac{p}{q})| = |\sum_{i=1}^n c_i p^i q^{-i}| = \frac{|\sum_{i=1}^n c_i p^i q^{n-i}|}{q^n} \ge \frac{1}{q^n}\,$

la dernière inégalité reste valable parce que $\frac{p}{q}\,$ n'est pas une racine de f.

Ainsi, nous avons $|f(\frac{p}{q})| \ge \frac{1}{q^n}\,$ . Puisque $|f'(x_0)| \le M\,$ par la définition de M, et $\frac{1}{M} > A\,$ par la définition de A, nous avons

$|\alpha - \frac{p}{q}| = \frac{|f(\frac{p}{q})|}{|f'(x_0)|} \ge \frac{1}{M q^n} > \frac{A}{q^n} \ge |\alpha - \frac{p}{q}|\,$

ce qui est une contradiction; par conséquent, aucun p, q n'existe; ce qui démontre le lemme.

[modifier] Démonstration de l'assertion

Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour tous les p, q

$|x - \frac{p}{q}| > \frac{A}{q^n}\,$ .

Soit r un entier positif tel que $\frac{1}{(2^r)} \le A\,$ . Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des entiers a, b > 1 tel que

$|x - \frac{a}{b}| < \frac{1}{b^m} = \frac{1}{b^{r+n}} = \frac{1}{(b^r b^n)} \le \frac{1}{(2^r b^n)} \le \frac{A}{b^n} \,$

ce qui contredit le lemme ; par conséquent x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif