Multiplication par un scalaire

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En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale).

Notez que la multiplication par un scalaire est différente du produit scalaire qui est un produit entre vecteurs dans un espace préhilbertien ou euclidien.

Plus précisément, si $\mathbb{K}$ est un corps commutatif et $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ , alors la multiplication par un scalaire est une application de $\mathbb{K}\times E$ dans $E$ .

L'image d'un couple $(λ, v)$ par cette application est un vecteur de $E$ généralement noté $\lambda\cdot v$ .

La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes:

La multiplication par 1 ne change pas un vecteur:

$1 \cdot v=v$ ;

Distributivité à gauche:

$\forall (\lambda, \mu)\in \mathbb{K}^2,\quad \forall v\in E,\quad (\lambda+\mu) \cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v$ ;

Distributivité à droite:

$\forall \lambda\in \mathbb{K},\quad \forall (u,v)\in E^2,\quad \lambda\cdot (u+v)=\lambda\cdot u+\lambda \cdot v$ ;

Associativité:

$\forall (\lambda, \mu)\in \mathbb{K}^2,\quad \forall v\in E,\quad (\lambda \cdot\mu)\cdot v=\lambda\cdot (\mu\cdot v)$ .

La multiplication par 0 donne le vecteur nul:

$\forall v\in E,\quad 0\cdot v=0_E$

La multiplication par $- 1$ donne l'opposé:

$\forall v\in E,\quad (-1)\cdot v=-v$

Ici + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient; et 0 est l'élément neutre du corps $\mathbb{K}$ , tandis que $0 E$ est le vecteur nul. La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps.

La multiplication par un scalaire peut être vue comme une loi de composition externe ou une action d'un corps commutatif sur un espace vectoriel. Une interprétation géométrique de la multiplication par un scalaire serait un étirement ou un rétrécissement d'un vecteur.

Comme cas particulier, $E$ peut être pris égal à $\mathbb{K}$ lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand $E$ est égal à $\mathbb{K}^n$ , alors la multiplication par un scalaire est celle définie composante par composante.

La même idée intervient sans changement lorsque $\mathbb{K}$ est un anneau commutatif et $E$ un module sur $\mathbb{K}$ .

$\mathbb{K}$ peut même être un demi-anneau, mais dans ce cas il n'y a pas d'opposé.

Si $\mathbb{K}$ n'est pas commutatif, alors le seul changement est que l'ordre dans lequel sont multipliés les éléments doit être respecté et les opérandes ne peuvent être échangées.