Loi de Bernoulli

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**Bernoulli**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$p>0\,$ (nombre réel) $q\equiv 1-p\,$
Support	$k=\{0,1\}\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$
Espérance	$p\,$
Médiane (centre)	non disponible
Mode	$\textrm{max}(p,q)\,$
Variance	$pq\,$
Asymétrie (skewness)	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$
Entropie	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Fonction génératrice des moments	$q+pe^t\,$
Fonction caractéristique	$q+pe^{it}\,$

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité $q = 1 - p$ .

$f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.$

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut $p q = p (1 - p)$ .

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour $p = 1 / 2$ la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

La distribution de Bernoulli s'applique lors d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est 1 et l'échec 0.

[modifier] Distributions liées

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre $p$ , indépendantes identiquement distribuées,alors $Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$
(Loi binomiale).