Identité remarquable (mathématiques élémentaires)
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires |
Algèbre |
Analyse |
Arithmétique |
Géométrie |
Logique |
Probabilités |
Statistiques |
On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.
Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :
- Second degré
- Troisième degré
Sommaire |
[modifier] Utilité
Les identités remarquables sont une sorte de formule magique pour rendre les factorisation plus simples. Bien connaître ses identités remarquables permet d'obtenir un gain de vitesse important ! Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser. Elles permettent aussi de simplifier considérablement des équations.
[modifier] Exemple
Pour calculer mentalement un carré, l'expression
peut être utilisée facilement
Ainsi, le carré de 27, peut être considéré comme le carré de 20 + 7
Par l'identité, nous trouvons que c'est 202 + 72 + 2x20x7, soit 400 + 49 + 280 = 729
[modifier] Démonstrations algébriques
(ab = ba)
L'identité avec s'obtient de celle avec (a3 + b3) en remplaçant b par -b.
[modifier] Démonstrations géométriques
- Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide et aussi (Maths élémentaire d'Euclide). La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers éléments du formulaire.
- On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (a²), des aires des rectangles bleus (ab pour chacun) et de l'aire du carré vert (b²).
- On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré vert vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et bleus d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.
[modifier] Voir aussi
3 exercices interactifs corrigés sur les identités remarquables