Formule de Leibniz

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En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d'après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 - 14 novembre 1716) :

En analyse réelle, la formule de Leibniz est la formule donnant les dérivées successives d'un produit de fonctions réelles d'une variable réelle. La formule de Leibniz désigne aussi une formule plus générale du calcul différentiel donnant la différentielle du produit de deux fonctions différentiables à valeurs dans une algèbre normée.
Par extension, la formule de Leibniz, aussi appelée identité de Leibniz, désigne abusivement une identité que doivent vérifier par définition les dérivations.
En algèbre linéaire, la formule de leibniz fournit une définition du déterminant d'une matrice comme une somme alternée sur ses serpents.
Enfin, la formule de Leibniz désigne aussi la somme de la série alternée des inverses des entiers impairs.

[modifier] Dérivée d'un produit

Articles détaillés : Dérivée et Opérations sur les dérivées.

Le produit de deux fonctions d'une variable réelle $f$ et $g$ définies et dérivables jusqu'a l'ordre $n$ sur un intervalle $I$ est dérivable jusqu'à l'ordre $n$ . La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre $n$ donnée par :

$(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \ f^{(k)}\ g^{(n-k)}$

où les nombres entiers $\tbinom{n}{k}$ sont les coefficients binomiaux.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier $n$ . La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Démonstration

Procédons par récurrence sur $n$ .

Pour $n = 1$ la formule est vraie car

$\sum_{k=0}^1 \binom{1}{k} \ f^{(k)}g^{(1-k)}=fg'+f'g$

qui est vrai selon la dérivée d'un produit de fonctions dérivables.

Supposons la formule vraie au rang $n$ , alors:

$\begin{align} (fg)^{(n+1)} &= \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \right)' \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k+1)} g^{(n-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k+1)} &\mathrm{(r\grave{e}gles \ de \ d\acute{e}rivation)}\\ &= \sum_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l-1} f^{(l)} g^{(n+1-l)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} &\mathrm{(changement \ d'indice)}\\ &= \sum_{l=0}^{n+1} \binom{n}{l-1} f^{(l)} g^{(n+1-l)} + \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k+1)} &\left(\text{car} \ \tbinom{n}{-1}=\tbinom{n}{n+1}=0\right)\\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \left[ \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right] f^{(k)} g^{(n+1-k)} \\ (fg)^{(n+1)} &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} &\left(\text{car} \ \tbinom{n}{k-1} + \tbinom{n}{k}=\tbinom{n+1}{k}\right) \end{align}$

La formule est donc vraie pour $n + 1$ . Par récurrence, elle est vraie pour tout $n$ .

Note : on peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor sans reste intégral..

[modifier] Série alternée

Article détaillé : Série alternée.

La formule de Leibniz est un exemple de série alternée :

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.$

Elle a été découverte en Occident au XVII^e, mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province de Kerala, vers 1400. Les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIX^e siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

Démonstration

Considérons la série géométrique infinie,

$1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots = \frac{1}{1+x^2} \qquad |x| < 1$

C'est la limite de

$G_n(x)=1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 -+ \cdots - x^{4n-2}= \frac{1-x^{4n}}{1+x^2}, \qquad |x| < 1$

En écrivant que

$\frac{1} {1+x^2}=\frac{1-x^{4n}}{1+x^2}+\frac{x^{4n}}{1+x^2}=G_n (x)+ \frac{x^{4n}}{1+x^2}.$

on obtient, en intégrant de chaque côté entre 0 et 1,

$\int_{0}^{1} \frac{1} {1+x^2}\, \mathrm dx= \int_{0}^{1}G_n(x)\, \mathrm dx+\int_{0}^{1}\frac{x^{4n}}{1+x^2}\, \mathrm dx \ .$

Dans le membre de droite, l'intégrale de $G n (x)$ donne la somme recherchée et l'autre intégrale converge vers 0 à la limite $n \rightarrow \infty$ puisque

$\int_{0}^{1}\frac{x^{4n}}{1+x^2} \, \mathrm dx< \int_{0}^{1} x^{4n}\,\mathrm dx=\frac{1}{4n+1} \$

Le membre de gauche,

$\int_{0}^{1} \frac{1} {1+x^2}\, \mathrm dx$

vaut $arctan (1) - arctan (0) = π ⁄ 4$ , on a donc

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots.$

[modifier] Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant d'une matrice carrée $A = (a i j)$ d’ordre $n$ est le nombre noté $det(A)$ égal à :

$\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$

où $S n$ est l’ensemble des permutations de ${1,2,..., n}$ et pour une permutation $σ$ de $S n$ , $ε(σ)$ désigne sa signature ; égale à 1 si la permutation est paire et -1 si la permutation est impaire.