Espace de Hilbert
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Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien <·,·> par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.
[modifier] Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan
Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité
qui signifie que la somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme).
Dans le cas réel le produit scalaire est défini par
Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par
où
et i est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels (0,1)).
Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.
En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.
[modifier] Exemples d'espaces de Hilbert
- ℝn muni du produit scalaire usuel.
- L2([a,b]), espace des fonctions de [a,b] à valeurs dans et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article sur l'espace Lp(Ω)), muni de
. - , l'espace des suites (un)n∈ℕ de nombres complexes telles que
, le produit scalaire de deux suites u et v étant par définition la somme de la série
En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à , voir l'article sur les bases de Hilbert.
[modifier] Voir aussi
- Base de Hilbert
- Théorème de Riesz
- Théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert
- Théorème de Lax-Milgram
- Théorème de Stampacchia
- Espace de Banach
- Analyse fonctionnelle
- mesures secondaires
Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz
Fonctionnelle • Calcul des variations • Dérivée fonctionnelle • Espace de Banach • Algèbre de Banach • Espace de Hilbert • Espace de Fréchet • Variété banachique • Espace de fonctions • Noyau reproduisant • Série de Fourier • Transformée de Fourier • Distribution • Topologie faible