Théorème de Riesz

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels normés réels ou complexes, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité, une propriété topologique, et celle de dimension, une notion algébrique. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.

Sommaire

1 Énoncé
2 Contre-exemples sur d'autres corps
3 Démonstration
- 3.1 Sens direct
- 3.2 Sens réciproque, en utilisant la propriété de Borel-Lebesgue =
  - 3.2.1 Sens réciproque, sans utiliser la propriété de Borel-Lebesgue
4 Voir aussi

[modifier] Énoncé

Plus précisement, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :

Théorème

Soit E un espace vectoriel normé réel ou complexe. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

E est de dimension finie.
Toute partie bornée de E est relativement compacte.
La boule unité fermée de E est compacte.
E est localement compact.

[modifier] Contre-exemples sur d'autres corps

La droite réelle est un espace vectoriel rationnel de dimension infinie et normé par la valeur absolue usuelle, mais sa boule unité fermée est compacte, toute partie bornée est relativement compacte et l'ensemble est localement compact.

Inversement, le corps des rationnels constitue un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même mais aucun voisinage de l'origine n'est compact.

L'espace des suites à valeurs dans le corps fini $\mathbb{F}_2$ , muni de la norme constante égale à 1 en dehors de la suite nulle, est localement compact (car discret) mais de dimension infinie et sa boule unité fermée n'est pas compacte.

[modifier] Démonstration

[modifier] Sens direct

Dans ce sens, il s'agit d'un corollaire théorème de Bolzano-Weierstrass. Si E est de dimension finie, tout fermé borné dans E est compact.

[modifier] Sens réciproque, en utilisant la propriété de Borel-Lebesgue =

Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.

En effet, $B \subset \bigcup_{x \in B} B\left(x,\frac{1}{2}\right)$ . Donc si B est compacte, il existe un recouvrement fini de cet ouvert par des boules de centre x_i et de rayon 1/2 : $B \subset \bigcup_1^p B\left(x_i,\frac{1}{2}\right)$ .

Soit alors $F=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$ . Montrons que B est incluse dans F.

Soit $x \in B$ , il existe $i \in [1, p]$ tel que $x \in B\left(x_i,\frac{1}{2}\right)$ et $x-x_i \in B\left(0,\frac{1}{2}\right)$ donc $B \subset F + B\left(0,\frac{1}{2}\right)$ .

Montrons maintenant que $B\left(0,\frac{1}{2}\right) \subset F + B\left(0,\frac{1}{4}\right)$ .

Si $x \in B\left(0,\frac{1}{2}\right), 2x \in B$ donc $2 x = f + y$ où $f \in F$ et $y \in B\left(0,\frac{1}{2}\right)$ d'où $x = \frac{f}{2} + \frac{y}{2}$ , et enfin $x \in F + B\left(0,\frac{1}{4}\right)$ .

Par récurrence sur n, on a alors $\forall n \in \mathbb{N}, B \subset F + B\left(0,\frac{1}{2^n}\right)$ . Soit alors $x \in B, \forall n \in \mathbb{N}$ , il existe $x_n \in F$ tel que $x-x_n \in B\left(0,\frac{1}{2^n}\right)$ . Donc $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n = x$ , et $B \subset \overline{F}$ . Mais F est un espace vectoriel de dimension finie, donc est fermé : $B \subset F$ donc $E \subset F$ : E est de dimension finie.

[modifier] Sens réciproque, sans utiliser la propriété de Borel-Lebesgue

Comme on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.

[modifier] Propos heuristiques

On considère un espace vectoriel $E$ de dimension infinie. Typiquement, on prend $E=\mathbb{R}^\mathbb{N}$ , le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.

On cherche dans cet espace $E$ une suite $(x n)$ qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace $E$ n'est pas compact.

La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de $E$ , c'est-à-dire la base formée des vecteurs $e_i=(0,\ldots, 0, 1, 0, \ldots)$ , où le $1$ est à la $i$ -ième place.

Et, effectivement, si $(E, (\cdot |\cdot))$ est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si $(e_i)_{i \in I}$ est une base orthonormée de $E$ et si $(i_j)_{j \in \mathbb{N}}$ est une suite injective à coefficients dans $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $I$ , alors, la suite $(f_j=e_{i_j})_{j\in \mathbb{N}}$ est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.

Démonstration

En effet, dans le cas contraire (raisonnement par l'absurde), on pourrait supposer, quitte à extraire une sous-suite que la suite $(f j) j$ converge vers $a$ .

On note tout d'abord que $a$ est non-nul car tous les $f j$ sont de norme 1, donc $a$ aussi.

Il existe donc un vecteur de base $e_{i_0}$ tel que $(a|e_{i_0})$ est non-nul.

Pourtant, à cause du caractère orthonormé de la base qu'on a choisie, à partir d'un certain rang, $(f_j|e_{i_0})$ est nul. C'est absurde.

Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel $E$ qui n'a pas de produit scalaire. Désormais, $(E,||\cdot|| )$ est un $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ -EVN de dimension infinie.

[modifier] L'analogue de l'orthonormalisation de Schmidt

On se donne une famille libre $(x_i)_{i\in \mathbb{N}}$ . On va construire une suite $(e i)$ qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de $(x i)$ .

D'abord, on pose $e_0=\frac{x_0}{||x_0||}$ , de telle sorte que $| | e 0 | | = 1$ .

Puis, pour $e 1$ , on procède ainsi. On note $E 0$ l'espace vectoriel de dimension finie engendré par $e 0$ ; c'est une fermé de $E$ . En particulier, il existe un point $y_0\in E_0$ tel que $||x_1-y_0||=\inf_{y\in E_0}||x_1-y||=d(x_1, E_0)$ . Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de $x 1$ qui joue le rôle de $y 0$ . S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose $e_1=\frac{x_1-y_0}{||x_1-y_0||}$ .

On itère ensuite la construction : $E 1$ est engendré par $e 0$ et $e 1$ ; $y 2$ réalise la distance de $x 2$ à $E 1$ , etc.

[modifier] La démonstration

On montre alors que la suite $e n$ contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Par l'absurde, supposons que la suite $e n$ admette une valeur d'adhérence a.

Pour aboutir à une contradiction, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si $F$ est un sous-espace vectoriel de l'EVN $E$ et si $x\in E$ , alors, pour tout $f\in F$ et tout $λ$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , on a :

$d (x + f, F) = d (x, F)$
$d (λ x, F) = λ d (x, F)$

On a donc $d(e_{n}, E_{n-1})=\frac{d(x_{n}, E_{n-1})}{d(x_{n}, E_{n-1})}=1$ .

Or, par définition de ce que'est une valeur d'adhérence, il existe deux indices n < m, tels que $\|e_n-a\|<1/2$ et $\|e_m-a\|<1/2$ . L'inégalité triangulaire donne : $\|e_n-e_m\|<1$ ce qui est absurde puisque $e_n\in E_{m-1}$ .