Droite sécante
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En géométrie, la position relative de deux droites, ou d'une droite et d'une courbe, peut être qualifiée par l'adjectif sécante. Celui-ci vient du latin secare, qui signifie couper. En termes mathématiques, une droite est sécante à une autre droite, ou plus généralement à une courbe, quand elle a une intersection non vide avec celle-ci.
Pour effectuer l'étude d'une courbe au voisinage d'un de ses points P, il est utile de considérer les sécantes issues de P, c'est-à-dire les droites passant par P et un autre point Q de la courbe. C'est à partir de ces sécantes qu'est définie la notion de tangente à la courbe au point P : il s'agit de la limite, quand elle existe, des droites sécantes issues de P lorsque le deuxième point Q se rapproche de P le long de la courbe.
De ce fait, lorsque Q est suffisamment proche de P, la sécante peut être considérée comme une approximation de la tangente.
Dans le cas particulier de la courbe représentative d'une fonction numérique y=f(x), la pente de la tangente est la limite de la pente des sécantes, ce qui donne une interprétation géométrique de la dérivabilité d’une fonction.
[modifier] Lien entre les notions de fonction sécante et de droite sécante
Considérons un réel θ. Dessinons une droite sécante au cercle unité (centré à l’origine) qui passe par l’origine et par le point (cos θ, sin θ), point du cercle dont le vecteur image fait un angle θ avec le vecteur directeur de l’axe des abscisses. La valeur absolue de la sécante trigonométrique de θ est égale à la longueur du segment de la droite sécante allant de l’origine jusqu’à la droite d’équation x = 1. Si le segment passe par le point (cos θ, sin θ), alors la sécante trigonométrique de θ est positive, s'il passe par le point antipodal, alors la sécante de θ est négative.
[modifier] Approximation par une sécante
Considérons la courbe d’équation y = f(x) dans un système de coordonnées cartésiennes, et considérons un point P de coordonnées (c, f(c)), et un autre point Q de coordonnées (c + Δx, f(c + Δx)). Alors la pente m de la droite sécante, passant pas P et Q, est donnée par:
Le membre de droite de l’équation précédente est le rapport de Newton en c (ou taux d’accroissement). Lorsque Δx s’approche de zéro, ce rapport se rapproche du nombre dérivé f'(c), en supposant l’existence de la dérivée.
