Coupole (géométrie)
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| Coupole pentagonale | |||||
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| Faces n triangles n carrés 1 n-gone 1 2n-gone |
Arêtes 5n |
Sommets 3n |
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| Type |
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| Configuration faciale |
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| Groupe symétrique |
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| Dual |
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| Propriétés |
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En géométrie, une coupole est un solide formé en joignant deux polygones, un (la base) avec deux fois autant d'arêtes que l'autre, par une bande alternée de triangles et de rectangles. Si les triangles sont équilatéraux et les rectangles sont carrés, alors que la base et sa face opposée sont des polygones réguliers, les coupoles hexagonales, octogonales et décagonales sont toutes comptées parmi les solides de Johnson, et peuvent être formées en prenant des sections du cuboctaèdre, du petit rhombicuboctaèdre et du petit rhombicosidodécaèdre, respectivement.
Une coupole peut être vue comme un prisme où un des polygones a été effondré par la moitié en fusionnant des sommets alternés.
Les coupoles sont une sous-classe des prismatoïdes.
[modifier] Exemples
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Les trois polyèdres mentionnés ci-dessus sont les seules coupoles non-triviales avec des faces régulières : la "coupole dodécagonale" est une figure plane, et le prisme triangulaire peut être considéré comme une "coupole" de degré 2 (la coupole d'un segment et d'un carré). Néanmoins, les coupoles de polygones de degrés plus élevés peuvent être construites avec des faces triangulaires et rectangulaires irrégulières.
[modifier] Coordonnées des sommets
La définition d'une coupole ne requiert pas que la base soit un polygone régulier (ou le coté opposé à la base, qui peut être appelé le haut), mais il est pratique de considérer le cas où la coupole possède sa symétrie maximale, Cnv. Dans ce cas, le haut est un n-gone régulier, alors que la base est soit un 2n-gone régulier ou un 2n-gone qui possède deux longueurs de cotés différentes alternant et les mêmes angles qu'un 2n-gone régulier. Il est pratique de fixer le système de coordonnée tel que la base soit placée dans le plan xy, avec le haut dans un plan parallèle au plan xy. L'axe z est l'axe des n-feuillets, et les plans miroir passent à travers l'axe z et partagent les cotés de la base. Ils partagent aussi soit les cotés des angles du haut ou les deux. (Si n est pair, la moitié des plans miroirs partagent les cotés du polygone du haut et la moitié partage les angles, si n est impair, chaque plan miroir partage un coté et un angle du polygone du haut). Les sommets de la base peuvent être désignés par V1 jusqu'à V2n, tandis que les sommets du polygone du haut peuvent être désignés par V2n+1 jusqu'à V3n. Avec ces conventions, les coordonnées des sommets peuvent être écrites comme :
V2j-1: (rbcos [2π(j-1)/n + α], rbsin [2π(j-1)/n + α], 0) (où j=1, 2, …, n);
V2j: (rbcos (2πj/n - α), rbsin (2πj/n - α), 0) (où j=1, 2, …, n);
V2n+j: (rtcos (πj/n), rtsin (πj/n), h) (où j=1, 2, …, n).
Puisque les polygones V1V2V2n+1V2n+2, etc. sont des rectangles, ceci place une contrainte sur les valeurs de rb, rt et α. La distance V1V2 est égale à
rb{[cos (2π/n - α) – cos α]² + [sin (2π/n - α) - sin α] 2}1/2
= rb{[cos ² (2π/n - α) – 2cos (2π/n - α)cos α + cos² α] + [sin ² (2π/n - α) – 2 sin (2π/n - α)sin α + sin ²α]}1/2
= rb{2[1 – cos (2π/n - α)cos α – sin (2π/n - α)sin α]}1/2
= rb{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}1/2,
tandis que la distance V2n+1V2n+2 est égale à
rt{[cos (π/n) – 1]² + sin²(π/n)}1/2
= rt{[cos² (π/n) – 2cos (π/n) + 1] + sin²(π/n)}1/2
= rt{2[1 – cos (π/n)]}1/2.
Celles-ci sont égales, et si l'arête commune est notée par s,
rb = s/{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}1/2
rt= s/{2[1 – cos (π/n)]}1/2
Ces valeurs sont à insérer dans les expressions pour les coordonnées des sommets donnés plus tôt.
