Utilisateur:Claudeh5/zeta

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Version en cours d'écriture de fonction zeta de Riemann

[modifier] Définition par la série de Dirichlet

La fonction $ζ(s)$ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe ayant un pôle de résidu 1 en 1 et définie, pour Re(s)>1, par la série de Dirichlet $\zeta(s)=\sum_1^\infty{\frac1{n^s}}$

A partir de cette identité, on démontre les suivantes:

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

où $\mu(n)\,$ est la fonction de Möbius,

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

où $\varphi(n)\,$ est l'indicatrice d'Euler, et

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$ $\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$

où $\sigma_a(n)\,$ est la fonction diviseur

[modifier] Lien avec les nombres premiers

Le lien entre la fonction $ζ$ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule :

$\zeta(s) \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}}$

où le produit infini est étendu à l'ensemble $\mathcal P$ des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. On appelle parfois cette formule produit eulérien.

Un autre lien existe avec cette fois la fonction $π(x)$ qui compte le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. On a en effet

$\ln \zeta(s) = s \int_2^\infty{\frac{\pi(u)}{u(u^s-1)}du}$

valable pour $\Re{e}(s) >1$ .

[modifier] Extension à C-{1}

[modifier] Théorème de Dirichlet.Nombres de Stieltjes

Utilisant la Formule sommatoire d'Abel, on trouve

$\zeta(s)=\sum_1^\infty{\frac{1}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{[u]}{u^{1+s}}du}.$

La partie entière [u] se décompose en u-{u}. On a alors

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_1^\infty{\frac{\{u\}}{u^{1+s}}du}.$

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. Le premier terme vaut aussi

$\frac{s}{s-1}=\frac1{s-1}+1$

qui montre que la fonction $ζ(s)$ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. Cela constitue le théorème de Dirichlet. Le développement de Laurent de la fonction $ζ(s)$ s'écrit donc

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\frac{\gamma_n}{n!}(s-1)^n}$

où l'on a

$\gamma_n=\lim_{k \rightarrow \infty}{\sum_{m=1}^k{\frac{(\ln m)^n}{m}-\frac{(\ln k)^{n+1}}{n+1}}}.$

Ces nombres sont appelés nombres de Stieltjes.

[modifier] Représentation de $1 / ζ(s)$

La fonction $1 / ζ(s)$ est étudiée conjointement avec la fonction $ζ(s)$ . On a une représentation par une série de Dirichlet sous la formule

$\frac1{\zeta(s)}=\sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}$

L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également

$\frac1{\zeta(s)}= \sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{M(u)}{u^{1+s}}du}$

où

$M(u) = \sum_{n \le u}{\mu(n)}.$

Cette formule est valable pour $\Re(s)>1$ . On conjecture (hypothèse de Riemann) qu'elle reste vraie pour $\Re(s)>1/2$ .

[modifier] L'équation fonctionnelle

La fonction $ζ$ satisfait à l'équation fonctionnelle :

$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin \Big( \frac{\pi s}{2} \Big) \Gamma(1-s)\zeta(1-s)$

valable pour tout nombre complexe $s$ différent de 0 et 1. Ici, $Γ$ désigne la fonction Gamma.

[modifier] Estimations dans la région Re(s)>1

Dans le demi-plan $R e (s) = σ > σ 0 > 1$ la fonction $ζ(s)$ est bornée. Ses valeurs satisfont à l'inégalité

$\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)}\le|\zeta(\sigma+it)| \le \zeta(\sigma)$

Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan $R e (s) = σ > 1$ .

[modifier] Presque périodicité

La fonction $ζ(s)$ est presque-périodique au sens de Bohr dans la région $R e (s) > 1$ . Il en est de même de ses dérivées. La fonction $1 / ζ(s)$ est également presque périodique sur $R e (s) > 1$ ainsi que ses dérivées. Par contre sur l'axe 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch.

[modifier] Estimations sur Re(s)=1

Il existe une infinité de t tels que

| ζ(1 + i t) | > C 0 lnln | t |

On a, pour tout t, l'inégalité

| ζ(1 + i t) | < C 1 (ln | t | ) 2 / 3

[modifier] estimations sur Re(s)=0

[modifier] Estimations dans la région Re(s)<0

L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de $sin(σ + i t)$ permet de montrer que

$|\zeta(\sigma+it)| \ll \Big(\frac{t}{2\pi}\Big)^{\sigma-1/2}$

pour $σ < 0$ .

[modifier] Les zéros triviaux

D'après la relation fonctionnelle il existe une infinité de zéros sur l'axe réel négatif, un à chaque entier pair négatif. Ces zéros sont dits triviaux. La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ses zéros est simple et la valeur de la dérivée en -2k est

$\zeta'(-2k)=(-1)^k\frac{(2k)!\zeta(2k+1)}{2^{2k+1}\pi^{2k}}$

[modifier] La bande critique

[modifier] Les zéros de la bande critique

On appelle ainsi la bande [0,1]. Cette bande contient une infinité de zéros de la fonction $ζ(s)$ de Riemann. On a montré que l'axe $\Re{e}(s)=1/2$ en avait une infinité dont les 2/5 sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme $β + i γ$ en dehors de l'axe 1/2 et tels que $| γ | < T$ tend vers 0 quand $T$ tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que $β$ s'écarte de 1/2.

On appelle traditionnellement $N (T)$ le nombre de zéros de la fonction $ζ(s)$ de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale [0;1+iT]. On pose également $N 0 (T)$ pour le nombre de zéros se trouvant sur le segment [1/2;1/2+iT]. On a alors les estimations suivantes

$N(T)=\frac{T}{2\pi}\ln\Big(\frac{T}{2\pi e}\Big)+O(\ln T)$

Cette estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang n, $β n + i γ n$ sous la forme

$|\gamma_n| \approx \frac{2\pi n }{\ln n}$

Pour les zéros de la droite critique, on a

$N_0(T)\gg T\ln T.$

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante devant le terme T ln T.

[modifier] Estimation de zeta

On peut estimer, uniformément dans la bande critique, $ζ(s)$ par la formule

$\zeta(s)=\sum_{n \le |\Im{m}(s)|}{\frac1{n^s}}+O\Big(|\Im{m}(s)|^{-\Re{e}(s)}\Big).$

De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante: il existe un deux constantes c et C strictement positives telles que pour tout $\sigma \in [1/2,1]$ et t assez grand, on ait

$|\zeta(\sigma+it)| \le C t^{c(1-\sigma)^{3/2}} (\ln t)^{2/3}.$

Dans l'état actuel des connaissances, on peut prendre c=22.

[modifier] Le théorème de Valiron

Dans sa thèse soutenue en 1914, Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de t dans tout intervalle [T,T+1] pour lesquels on avait la minoration

$|\zeta(\sigma+it)| \ge t^{-\delta}.$

pour un certain $δ$ fixe strictement positif.

On ne connaît aucune valeur de $δ$ qui convient. On sait seulement que $0\le \delta \le 1$ . Sous l'hypothèsede Riemann, on peut prendre $δ$ aussi petit qu'on veut.

[modifier] L'hypothèse de Riemann

Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée. Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à 1/2.

Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à $ζ(s)$ .

[modifier] L'hypothèse de Lindelöf

Elle s'exprime dans la propriété, encore conjecturale, suivante:

pour tout $ε > 0$ on a

$|\zeta(1/2+it)| \le t^\epsilon.$

[modifier] les hypothèses de Mertens

[modifier] la relation fonctionnelle approchée

[modifier] La région sans zéro

La région la plus grande asymptotiquement qui ne contient aucun zéro de la fonction $ζ(s)$ est donnée par la formule suivante:

$\Re{e}(s) > 1 - \frac{c}{(\ln t)^{2/3}(\ln \ln t)^{1/3}}$

[modifier] le problème des moments

[modifier] La conjecture des paires corrélées

En 1972, Hugues Montgomery, au cours d'un symposium à l'université de Saint-Louis, émis la conjecture depuis lors connue sous son nom ou sous le nom de "pair correlation conjecture".

Montgomery considèra, sous l'hypothèse de Riemann, la fonction

f(x,T) =	∑	x^{i(γ − γ')}w(γ − γ')
	0 < γ,γ' < T

où $w(u)=\frac4{4+u^2}.$

Il montra ainsi que

$F(x,T)=\left(\frac{T}{2\pi}\ln x+ \frac{T}{2\pi x^2}\ln^2 T\right)(1+o(1))$

pour $1 \le x \le o(T)$ et que Goldston étendit à $1\le x \le T$

Montgomery conjectura que, pour $T\le x$ , on avait

$F(x,T)=\frac{T \ln T}{2\pi}(1+o(1))$

qui est la conjecture forte des paires corrélées.

La conjecture faible des paires corrélées, qu'on en déduit, exprime que

$\sum_{0<\gamma,\gamma'<T, 0<\gamma-\gamma'< \frac{2\pi\alpha}{\ln T}}1=\frac{T\ln T}{2\pi}\int_0^\alpha 1-\left(\frac{\sin(\pi u}{\pi u}\right)^2 du.$

Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.

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Sommaire

[modifier] Définition par la série de Dirichlet

[modifier] Lien avec les nombres premiers

[modifier] Extension à C-{1}

[modifier] Théorème de Dirichlet.Nombres de Stieltjes

[modifier] Représentation de $1 / ζ(s)$

[modifier] L'équation fonctionnelle

[modifier] Estimations dans la région Re(s)>1

[modifier] Presque périodicité

[modifier] Estimations sur Re(s)=1

[modifier] estimations sur Re(s)=0

[modifier] Estimations dans la région Re(s)<0

[modifier] Les zéros triviaux

[modifier] La bande critique

[modifier] Les zéros de la bande critique

[modifier] Estimation de zeta

[modifier] Le théorème de Valiron

[modifier] L'hypothèse de Riemann

[modifier] L'hypothèse de Lindelöf

[modifier] les hypothèses de Mertens

[modifier] la relation fonctionnelle approchée

[modifier] La région sans zéro

[modifier] le problème des moments

[modifier] La conjecture des paires corrélées

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