Formule sommatoire d'Abel
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En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Comme son nom l'indique, elle a été indiquée par Abel et sert à calculer des séries numériques.
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[modifier] Énoncé
Soient (an) une suite de nombres réels ou complexes et 
une fonction réelle de classe 
.
On pose
Alors
En fait, il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes.
[modifier] Exemples
[modifier] Constante d'Euler-Mascheroni
![\sum_1^x{\frac{1}{n}}=\frac{[x]}{x}+\int_1^x{\frac{[u]}{u^2}\mathrm{d}u}](../../../../math/7/1/e/71e256f99e68e363a57364357a14d59e.png)
dont on déduit une représentation intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni.
[modifier] Représentation de la fonction zeta de Riemann
![\sum_1^\infty{\frac{1}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{[u]}{u^{1+s}}\mathrm{d}u}](../../../../math/a/9/1/a91a66a28937731a33581e55c427588a.png)
Cette formule est valable pour 
. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s=1.
[modifier] Représentation de l'inverse de la fonction zeta de Riemann
Cette formule est valable pour . Le symbole μ désigne la fonction de Möbius et on a
