Capacité thermique isochore

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La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent $C_V~$ , se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :

$C_V \ = \ \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$

Comme l'énergie interne, c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en Joule par Kelvin. Elle dépend en général de la température T et du volume V.

Sommaire

1 Exemple
2 Propriété
- 2.1 Variation avec le volume
- 2.2 Variation avec la température
3 Articles connexes

[modifier] Exemple

Pour n moles d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :

$U(T) \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R \ T$

où R est la constante des gaz parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore est dans ce cas particulier égale à une constante :

$C_V \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R$

[modifier] Propriété

L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique isochore s'introduit naturellement dans la forme différentielle :

$dU \ = \ C_V \ dT \ + \ (l - p) \ dV$

où l est un coefficient calorimétrique.

[modifier] Variation avec le volume

L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :

$\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ \left( \frac{\partial (l - p)}{\partial T}\right)_V \ = \ \left( \frac{\partial l}{\partial T}\right)_V \ - \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$

La thermodynamique permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :

$l \ = \ T \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$

On en déduit la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :

$\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ T \ \left( \frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_V$

Si l'on connait l'équation d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.

[modifier] Variation avec la température

La thermodynamique ne permet hélas pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :

$\left( \frac{\partial C_V}{\partial T}\right)_V \ = \ \mathrm{?}$