ebooksgratis.com

Web Analytics Made Easy - Statcounter

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions

Weierstrassin elliptinen funktio – Wikipedia

Weierstrassin elliptinen funktio

Wikipedia

Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{m,n>0} \frac{1}{(z - 2m\omega_1 - 2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1 + 2n\omega_2)^2}$ ,

missä $ω 1$ ja $ω 2$ ovat funktion jaksot ja $\omega_1/\omega_2 \notin \mathbb{R}$ . Usein merkitään $Ω n m = m 2ω 1 + n 2ω 2$ , jolloin $Ω n m / 2$ on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke

$\wp'(z) = -2\sum_{m,n\ge 0} \frac{1}{(z - 2m\omega_1 + 2n\omega_2)^3}$ ,

joka on selvästi pariton funktio, eli $\wp'(-z) = -\wp'(z)$ . Myös $\wp(z)$ itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen,

$\begin{cases} \wp(x + 2\omega_1) = \wp(x)\\ \wp(y + 2\omega_2) = \wp(y) \end{cases}$ .

Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön

$(\wp')^2 = 4(\wp(z))^3 - g_2 \wp(z) - g_3$ .

Merkitsemällä $x = \wp(z)$ ja $y = \wp'(z)$ nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys

$z = \int_{\wp(z)}^\infty \sqrt{4t^2 - g_2t -g_3}\;dt$ .

[muokkaa] Kaavoja

Summakaava

$\wp(z + y) = \frac{1}{4}\Big(\frac{\wp'(z) - \wp'(y)}{\wp(z) - \wp(y)}\Big)^2 - \wp(z) - \wp(y)$

Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta

$\wp(2z) = \frac{1}{4}\Big(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\Big)^2 - 2\wp(z)$

Origon lähellä funktiota voidaan approksimoida Laurent'n sarjalla

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2z^2 + \frac{1}{28}g_3z^4 + \mathcal{O}(z^6)$

$\wp'(z) = -\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2z + \frac{1}{7}g_3z^3 + \mathcal{O}(z^5)$

[muokkaa] Aiheesta muualla

Weierstrassin elliptinen funktio MathWorldissa (englanniksi)

Luokat: Elliptiset funktiot | Algebralliset käyrät

Views

Haku

Muilla kielillä

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -