Syntymäpäiväongelma

Wikipedia

Syntymäpäiväongelma on vanha matemaattinen arvoitus. Siitä on useita muunnelmia, mutta keskeinen kysymys kaikissa on seuraava: kuinka monta henkilöä pitää jossakin tilaisuudessa olla koolla, että on todennäköistä, että ainakin kahdella heistä on sama syntymäpäivä? Lähtökohtana on tietenkin, että henkilöitä ei ole valittu heidän syntymäpäiviensä perusteella.

Pienehkössä ihmisryhmässä saatetaan joskus todeta hämmästyneenä, että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä, onhan päiviä sentään 365. Todellisuudessa se henkilöluku, jonka jälkeen on todennäköisempää että kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä kuin että kaikki ovat syntyneet eri päivinä, on yllättävän pieni.

On helppo osoittaa, että jo 23 henkilön ryhmässä on todennäköisempää, että ainakin kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä, kuin kaikilla eri. Tämä voidaan tehdä seuraavasti. Lasketaan miten todennäköistä on, että kaikki ovat syntyneet eri päivinä. Saatu todennäköisyys on kysytyn todennäköisyyden komplementin todennäköisyys, joka saadaan vähentämällä laskettu todennäköisyys yhdestä.

Valitaan yksi henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa vuoden 365 päivästä (ei rajoittavia ehtoja). Valitaan toinen henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa paitsi sinä päivänä, jona ensimmäinen henkilö oli syntynyt, eli jonakin vuoden 364 päivästä. Valitaan kolmas henkilö, joka voi olla syntynyt minä päivänä tahansa paitsi niinä, joina 1. ja 2. henkilö ovat syntyneet, eli jonakin muuna vuoden 363 päivästä. Valitaan samoin neljäs, viides ja niin edelleen aina 23. henkilöön asti. Tuloperiaatteen mukaan päivämäärät voi valita