Lattia- ja kattofunktio

Wikipedia

Lattiafunktio

Kattofunktio

Lattia- ja kattofunktio ovat kaksi matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä käytettävää funktiota, jotka muuntavat mielivaltaisen reaaliluvun kokonaisluvuksi.^[1]

Nimet "katto" (ceiling) ja "lattia" (floor) sekä vakiintuneet merkintätavat esitti ensimmäisenä Kenneth E. Iverson vuonna 1962. ^[2]

[muokkaa] Lattiafunktio

Lattiafunktio reaaliluvusta x, joka merkitään $\lfloor x \rfloor$ tai floor(x), palauttaa suurimman kokonaisluvun, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

$\lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.$

Esimerkiksi floor(2.9) = 2, floor(−2) = −2 ja floor(−2.3) = −3.

Positiivisilla luvuilla x funktiota floor(x) voidaan kutsua myös x:n kokonaislukuosaksi. Funktio $x -\lfloor x\rfloor$ (myös x mod 1) on x:n desimaaliosa.

[muokkaa] Kattofunktio

Kattofunktio, jota merkitään $\lceil x \rceil$ tai ceil(x), palauttaa pienimmän kokonaisluvun, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

$\lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}$

Esimerkiksi ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 ja ceil(−2.3) = −2.

[muokkaa] Lattiafunktion ominaisuuksia

Lause

$\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$

pätee jos ja vain jos x on kokonaisluku.

Kun x ja n ovat positiivisia lukuja,

$\left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x}$

Lattiafunktio on idempotentti: $\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor$ .
Mille tahansa kokonaisluvulle k ja reaaliluvulle x,

$\lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor$

Luvun x perinteinen pyöristäminen voidaan ilmaista tavalla: floor(x + 0,5)
Lattiafunktio ei ole jatkuva, vaan puolijatkuva funktio. Vakiofunktiona sen derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä jotka eivät ole kokonaislukuja.
Jos x on reaaliluku ja n on kokonaisluku, pätee n ≤ x jos ja vain jos n ≤ floor(x).
Reaalilukujen x, jotka eivät ole kokonaislukuja, lattiafunktio voidaan esittää Fourier-esityksenä:

$\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}$

Jos m ja n ovat keskenään jaottomia lukuja, niin

$\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2$

Jokaisen positiivisen kokonaisluvun k numeroiden määrä määritellään

$\lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1$

[muokkaa] Kattofunktion ominaisuuksia

Voidaan näyttää, että

$\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor$

sekä

$x \leq \lceil x \rceil < x + 1$

Jokaiselle kokonaisluvulle k pätee

$\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k$

[muokkaa] Viitteet

↑ Ronald Graham, Donald Knuth ja Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
↑ Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.