نظریه ماتریس (فیزیک)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

این مقاله راجع به یکی از شاخه‌های ابرریسمان در فیزیک نظری‌است. برای توضیح پیرامون ماتریس‌ها در جبر خطی یا دیگر ماتریس‌ها به ماتریس رجوع کنید.

نظریهٔ ماتریس یکی از نظریاتی‌است که در حالت‌های خاص می‌تواند توصیف دقیق از نظریه-م ارائه دهد. عملاً به همهٔ مدل‌های مکانیک کوانتومی که آن درجه‌های آزادی به صورت ماتریس نشان داده‌شده‌اند نظریهٔ ماتریس می‌گویند. در واقع برای توصیف نظریهٔ م در زمینه‌های مختلف (مثلاً فضای تخت مینوکوفسکی یا موج pp) نظریه‌های ماتریس مختلفی وجود دارد.

[ویرایش] تاریخچه

نظریهٔ ماتریس اولین بار به عنوان نظریهٔ کوانتیده‌کردن پوسته در جبههٔ نور مطرح شد که در آن تعداد بینهایت درجه‌های آزادی در پوسته با $N \times N$ درجهٔ آزادی (که تعدادش محدود است) ماتریس‌ها جایگزین شد. بنابراین هنگامی که $N$ به سمت بینهایت برود این نظریه به نظریهٔ پوستهٔ پیوسته نزدیک می‌شود. همیلتونی این نظریه به صورت زیر است.

$H_0~=~R~Tr ~( {1 \over 2}\Pi^2_A - {1 \over 4}[X_A,X_B]^2 - {1 \over2}\Psi^T\gamma^A[X_A,\Psi]) ~~A,B=1,\ldots,9$

در اینجا $X$ و $Ψ$ ماتریس‌های $N \times N$ هرمیتین‌اند. و $Π$ اندازه‌حرکت تعمیم‌یافته.

یک نکتهٔ جالب این است که با قاعده‌مند کردن نظریهٔ پوستهٔ پیوسته با هر مقدار سرده (ی توپلوژیک g) باز همین نظریهٔ ماتریس $U (N)$ حاصل می‌شود یعنی سردهٔ توپولوژیک (تعداد دسته‌ها = g) تأثیری در شکل نهایی همیلتونی ندارد.

گرچه کنش ماتریس با قاعده‌مند کردن تنها یک پوسته حاصل می‌شود، این نظریه حاوی ساختمانی پیچیده‌تر از پوستهٔ تقریب‌خورده است. مثلاً با نوع خاصی از تنظیم ماتریس‌ها برای مقادیر بزرگ $N$ می‌توان هر سیستمی با چندین پوسته با توپولوژی دلخواه را تقریب زد در حالی که نظریهٔ نخستینِ پوستهٔ پیوسته مسلماً فقط یک پوسته را توصیف می‌کند. ساختمان پیچیده‌تر نظریهٔ ماتریس به خاطر ماهیت کوانتیدهٔ ثانوی آن است.

[ویرایش] ارتباط نظریهٔ ماتریس و نظریه-م

در سال ۱۹۹۶ بنکس، فیشر، شنکر و ساسکیند (ب‌ف‌س‌س)، با نظر به تحولات رخ‌داده پیرامون د-وسته‌ها و همزادی‌ها حدس زدند که حد $N \to \infty$ مکانیک کوانتومی ماتریسی ابرمتقارن بالا کل نظریه م را در مختصات جبهه-نور توصیف می‌کند. ساسکیند بعدها استدلال کرد که حالت N محدودِ نظریهٔ مکانیک کوانتوم ماتریسی با آن سکتور جبهه-نور گسستهٔ کوانتیده-شدهٔ نظریه-م که N واحد اندازه‌حرکت متراکم دارد معادل است.

باید بر این نکته تأکید شود گرچه مدل ماتریس حدس ب‌ف‌س‌س دقیقاً همان مدل مذکور در بالاست که با قاعده‌مند کردن ابرپوسته به دست آمده‌است، ایشان از راهی کاملاً متفاوت به همین فرمول رسیدند.

همیلتونی ب‌ف‌س‌س از لاگرانژی کم‌انرژی سیستم Nتا د۰-وستهٔ نوع IIA به دست می‌آید. که لاگرانژی مکانیک کوانتوم ماتریسی‌است که از کاهش ابعادی لاگرانژی ۱۰بعدی ابر ینگ-میلز به $0 + 1$ بعد حاصل می‌شود.

مطالعهٔ مدل ب‌ف‌س‌س به دلایلی چند دشوار است. نسخت اینکه در آن جهت‌های تخت به چشم می‌خورد. علاوه‌براین تشخیص حالت‌های تک-ذره‌ای از حالت‌های چندذره‌ای دشوار است. همچنین ثابت جفت‌شدگی قابل تنظیم ندارد از این رو نمی‌توان در آن از تقریب‌های اختلالی استفاده کرد.