Número poligonal
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, un número poligonal es un número que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían recomponerse de ciertas formas cuando los representaban con piedras o semillas. El número 10 puede recomponerse como un triángulo (ver número triangular):
x x x x x x x x x x
Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):
x x x x x x x x x
Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos. En los siguientes diagramas, el nuevo paso de agrandamiento se representará con el símbolo +.
Números triangulares
1:
+ x
3:
x x + + x x
6:
x x x x x x + + + x x x
10:
x x x x x x x x x x x x + + + + x x x x
Números cuadrados
1:
+ x
4:
x + x x + + x x
9:
x x + x x x x x + x x x + + + x x x
16:
x x x + x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x + + + + x x x x
Los polígonos con un mayor número de lados, como los pentágonos y hexágonos, también pueden representarse como reordenamientos de puntos (por convención, el 1 es el primer número poligonal para cualquier número de lados).
Números pentagonales:
1:
+ x
5:
x x + + x x + + x x
12:
x x x x x x + x x + x x x x + + x x + + + x x x
22:
x x
x x x x
x x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x + x x x x x
+ + x x
+ + + + x x x x
35:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ + x x
+ + + + + x x x x x
Números hexagonales
1:
x
6:
x x
+ + x x
+ + x x
+ x
15:
x x
x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
28:
x x
x x x x
x x x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
45:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
66: (que también es un número triangular)
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
91:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
+ x x x x x x x + x x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
Si l es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el n-ésimo número poligonal de l lados es ½n((l-2)n - (l-4)).
| Nombre | Fórmula | n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Triangular | ½n(1n + 1) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
| Cuadrado | ½n(2n - 0) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
| Pentagonal | ½n(3n - 1) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | 176 | 210 | 247 |
| Hexagonal | ½n(4n - 2) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 231 | 276 | 325 |
| Heptagonal | ½n(5n - 3) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | 286 | 342 | 403 |
| Octagonal | ½n(6n - 4) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 341 | 408 | 481 |
| Nonagonal | ½n(7n - 5) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | 396 | 474 | 559 |
| Decagonal | ½n(8n - 6) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | 451 | 540 | 637 |
| 11-agonal | ½n(9n - 7) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | 506 | 606 | 715 |
| 12-agonal | ½n(10n - 8) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | 561 | 672 | 793 |
| 13-agonal | ½n(11n - 9) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | 616 | 738 | 871 |
| 14-agonal | ½n(12n - 10) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 671 | 804 | 949 |
| 15-agonal | ½n(13n - 11) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | 726 | 870 | 1027 |
| 16-agonal | ½n(14n - 12) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | 781 | 936 | 1105 |
| 17-agonal | ½n(15n - 13) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | 836 | 1002 | 1183 |
| 18-agonal | ½n(16n - 14) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 891 | 1068 | 1261 |
| 19-agonal | ½n(17n - 15) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | 946 | 1134 | 1339 |
| 20-agonal | ½n(18n - 16) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | 1001 | 1200 | 1417 |
| 21-agonal | ½n(19n - 17) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | 1056 | 1266 | 1495 |
| 22-agonal | ½n(20n - 18) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | 1111 | 1332 | 1573 |
| 23-agonal | ½n(21n - 19) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | 1166 | 1398 | 1651 |
| 24-agonal | ½n(22n - 20) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | 1221 | 1464 | 1729 |
| 25-agonal | ½n(23n - 21) | 1 | 25 | 72 | 142 | 235 | 351 | 490 | 652 | 837 | 1045 | 1276 | 1530 | 1807 |
| 26-agonal | ½n(24n - 22) | 1 | 26 | 75 | 148 | 245 | 366 | 511 | 680 | 873 | 1090 | 1331 | 1596 | 1885 |
| 27-agonal | ½n(25n - 23) | 1 | 27 | 78 | 154 | 255 | 381 | 532 | 708 | 909 | 1135 | 1386 | 1662 | 1963 |
| 28-agonal | ½n(26n - 24) | 1 | 28 | 81 | 160 | 265 | 396 | 553 | 736 | 945 | 1180 | 1441 | 1728 | 2041 |
| 29-agonal | ½n(27n - 25) | 1 | 29 | 84 | 166 | 275 | 411 | 574 | 764 | 981 | 1225 | 1496 | 1794 | 2119 |
| 30-agonal | ½n(28n - 26) | 1 | 30 | 87 | 172 | 285 | 426 | 595 | 792 | 1017 | 1270 | 1551 | 1860 | 2197 |
Referencia
- The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0140261494]. (en inglés)
- Polygonal numbers at MathWorld (en inglés)
