Multiplicadores de Lagrange

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En los problemas de optimización, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 El método de los multiplicadores de Lagrange
3 Ejemplo
4 Enlaces externos

[editar] Introducción

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f(x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a:

g (x, y) = c,

donde c es una constante. Podemos visualizar las líneas de curvas de nivel de f dadas por

f (x, y) = d n

para varios valores de d_n, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, cruzando el contorno donde g = c por lo general intersectará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexión restringidos de f.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

$\nabla$ [f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

F (x, y) = f (x, y) - λ(g (x, y) - c)

de forma tradicional. Eso es, $F (x, y) = f (x, y)$ para todo (x, y) satisfaciendo la condición porque $g (x, y) - c$ es igual a cero en la restricción, pero los ceros de $\nabla$ F(x, y) están todos en $g (x, y) = c$ .

[editar] El método de los multiplicadores de Lagrange

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rⁿ}. Se definen s restricciones g_k (x) = 0, k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

$h(\mathbf x, \mathbf \lambda) = f - \sum_k^s \lambda_k g_k$

Se procede a buscar un extremo para h

$\frac{\partial h}{\partial x_i} = 0,$

lo que es equivalente a

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_k^s \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial x_i}.$

Los multiplicadores desconocidos λ_k se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. g_k=0), lo que implica que f ha sido optimizada

El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

[editar] Ejemplo

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces

$f(p_1,p_2,\ldots,p_n) = -\sum_{k=1}^n p_k\log_2 p_k.$

Evidentemente, la suma de estas probabilidades debe ser exactamente igual a 1, por lo tanto nuestra rectricción es g(p) = 1 con

$g(p_1,p_2,\ldots,p_n)=\sum_{k=1}^n p_k.$

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

$\frac{\partial}{\partial p_k}(f+\lambda (g-1))=0,$

lo que nos da

$\frac{\partial}{\partial p_k}\left(-\sum_{k=1}^n p_k \log_2 p_k + \lambda\sum_{k=1}^n p_k - \lambda\right) = 0.$

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

$-\left(\frac{1}{\ln 2}+\log_2 p_k \right) + \lambda = 0.$

Esto muestra que todo p_i es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑_k p_k = 1, encontramos

$p_k = \frac{1}{n}.$

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

[editar] Enlaces externos

Para referencias del trabajo original de Lagrange(Inglés)
[1]Applet (Inglés)
Tutorial y applet(Inglés)
Introducción Conceptual (más un acercamiento de la relación multiplicadores de Lagrange y el cálculo de variaciones como se usan en Física) (Inglés)
[2] (tutorial hecho por Dan Klein) (Inglés)

Algunos problemas