Congruencia

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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m$ , llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

$a \equiv b \pmod m$

que se expresa diciendo que $a$ es congruente con $b$ módulo $m$ . Las siguientes expresiones son equivalentes:

$a$ Es congruente con $b$ módulo $m$

$a\equiv b\pmod m$

El resto de $a$ entre $m$ es el resto de $b$ entre $m$

$a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m$

$m$ divide exactamente a la diferencia de $a$ y $b$

$m\mid a-b$

$a$ se puede escribir como la suma de $b$ y un múltiplo de $m$

$\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p$ y cada entero $a$ no divisible por $p$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4$ y $x\equiv 7 \pmod{11}$ , es decir $x$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11 k + 4$ y $11 k + 7$ . Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}$ , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquitiones Aritmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

[editar] Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:

La congruencia para un módulo fijo $m$ es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

reflexividad: $a \equiv a \pmod m$
simetría: si $a \equiv b \pmod m$ entonces también $b \equiv a \pmod m$
transitividad: si $a \equiv b \pmod m$ y $b \equiv c \pmod m$ entonces también $a \equiv c \pmod m$ .