Zufallsstichprobe
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Eine Zufallsstichprobe (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl) ist ein Auswahlverfahren. Bei einem Zufallsauswahlverfahren (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl, Zufalls-Stichprobe, Zufallsauswahl, Random-Sample) hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit (größer Null), in die Stichprobe zu gelangen. Das erfordert die vorherige Erstellung eines Gesamtverzeichnisses aller Elemente der Grundgesamtheit. Man unterscheidet einstufige und mehrstufige Zufallsauswahlverfahren. Nur bei Zufallsauswahlen sind streng genommen die Methoden der induktiven Statistik anwendbar.
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[Bearbeiten] Mathematische Definition
Eine Stichprobe ist
- ein Vektor (x1,x2,...,xn), wobei jedes xi die Realisierung einer Zufallsvariablen Xi ist. Die Zufallsvariablen X1,X2,...,Xn sind unabhängig, besitzen alle die gleiche Verteilungsfunktion und sind über den selben Wahrscheinlichkeitsraum definiert. Für alle Xi existiert der Erwartungswert E(Xi).
- eine Teilmenge einer Grundgesamtheit, die gemäß einem Stichprobenplan zufällig ausgewählt worden ist.
[Bearbeiten] Einstufige Zufalls-Stichproben
Siehe den Hauptartikel Urnenmodell
Reine (oder einfache) Zufalls-Stichprobe (Simple Random Sample): Die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu geraten, ist für jedes Element gleich. Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment. Dazu wird ein fiktives Gefäß mit Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Durch ein Urnenmodell lassen sich so verschiedene Zufallsexperimente, etwa eine Lottoziehung, simulieren.
[Bearbeiten] Mehrstufige Zufallsauswahl (auch Komplexe Zufallsauswahl)
Insbesondere sind folgende Zweistufigen Auswahlverfahren von Bedeutung:
- Geschichtete Zufallsstichprobe: Die Elemente werden nach einem bestimmten Merkmal in Gruppen (Untermengen) eingeordnet. Innerhalb jeder dieser Gruppen wird dann eine reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Hier wird auf mindestens 2 Ebenen gezogen. Beispielsweise werden auf der ersten Stufe Schulklassen nach einem vorher festgelegten Verfahren gezogen. Danach werden auf der zweiten Stufe die Untersuchungsgegenstände (hier Schüler) gezogen. Als Verfahren kommt die reine Zufalls-Stichprobe als auch gewichtete Verfahren in Frage.
- Klumpen-Stichprobe: Zuerst wird eine (relativ kleine) reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Danach werden die in den gezogenen Elementen enthaltenen Elemente komplett in die Stichprobe aufgenommen. Ein klassisches Beispiel ist die Befragung ganzer Häuserblocks oder von Schulklassen. Zuerst werden die zu befragenden Schulklassen per Zufallsauswahl bestimmt. Dann werden alle in den Schulklassen enthaltenen Schüler befragt. Bei der Klumpenstichprobe tritt der sogenannte Klumpeneffekt auf. Er ist um so größer, je heterogener die Gruppen untereinander sind.
Mehrstufige-Zufallsauswahl:
