Wohlfahrtsfunktion

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Das Konzept der Wohlfahrtsfunktion geht auf Arbeiten von Abram Bergson^[1] und Paul A. Samuelson^[2]zurück. Kenneth Arrow zeigte die eingeschränkte Anwendbarkeit einer reinen Nutzenfunktion mit dem Unmöglichkeitstheorem, nach dem man verschiedene gegensätzliche Präferenzen verschiedener Individuen nicht zu einem gesamtgesellschaftlichen Nutzen aggregieren kann. Die aktuelle Diskussion beruht auf Arbeiten von Amartya Sen und James. E. Foster. Das Ziel einer beispielsweise auf Einkommen angewandten Wohlfahrtfunktionen ist es, ein Einkommen zu ermitteln, das jenem Einkommen entspricht, wie es in breiten Bevölkerungsschichten wahrgenommen wird. Damit ist die Wohlfahrtsfunktion eine Alternative zum Median.

Wird die Wohlfahrtsfunktion für ein Volkseinkommen berechnet, dann ist sie das Produkt aus dem Volkseinkommen und einem Gleichverteilungsmaß, das aus der Verteilung des Volkseinkommens auf die Bürger berechnet wurde. Ein Gleichverteilungsmaß ist 1 (bzw. 100%) abzüglich eines Ungleichverteilungsmaßes. Das einfachste Ungleichverteilungsmaß ist die Hoover-Ungleichverteilung. Die Hoover-Gleichverteilung ist dann 1 (oder 100%) abzüglich der Hoover-Ungleichverteilung. Eine für ein Volkseinkommen mit der Hoover-Gleichverteilung berechnete Wohlfahrtsfunktion ergibt sich, wenn das Volkseinkommen mit der Hoover-Gleichverteilung multipliziert wird. Diese Wohlfahrtsfunktion hat eine konkrete Bedeutung: Sie ist der Anteil des Volkseinkommens, der unangetastet bliebe, wenn man das Volkseinkommen so umverteilen würde, dass sich eine völlige Gleichverteilung ergäbe. Teilt man diesen Anteil durch die Anzahl der Einkommensbezieher, dann ergibt sich ein Pro-Kopf-Einkommen, dass kleiner als das Durchschnittseinkommen ist.

$W_{\mathrm{Hoover}} = \overline{\mathrm{Einkommen}} \cdot (1-H)$

[Bearbeiten] Sens und Fosters Wohlfahrtsfunktionen

Der ursprüngliche Vorschlag von Amartya Sen mit dem Gini-Koeffizienten $G$ war:

$W_{\mathrm{Gini}} = \overline{\mathrm{Einkommen}} \cdot (1-G)$

Sen schrieb die zweite Auflage^[3] seines wesentlich erweiterten Buches gemeinsam mit James E. Foster. Anstelle des Gini-Koeffizienten verwendet Foster ein Entropiemaß von Atkinson^[4] zur Berechnung der Wohlfahrtsfunktion. Da der Theil-Index einfach in das Entropiemaß von Atkinson $A$ umgerechnet werden kann, lässt sich Fosters Wohlfahrtsfunktion auch direkt aus dem zu betrachtenden Einkommen und dem Theil-L-Index $T L$ berechnen:

$W_{\mathrm{Theil-L}} = \overline{\mathrm{Einkommen}} \cdot e^{-T_L} = \overline{\mathrm{Einkommen}} \cdot (1-A)$

$\displaystyle e^{-T_L}$ ist die Theil-L-Gleichverteilung. Eine für ein Volkseinkommen mit der Theil-L-Gleichverteilung berechnete Wohlfahrtsfunktion ergibt sich, wenn das Volkseinkommen mit der Theil-L-Gleichverteilung multipliziert wird. Im Artikel zum Theil-Index wird die Anwendung des Theil-L-Indexes auf die Berechnung der Wohlfahrtsfunktion eingehender erläutert.

[Bearbeiten] Quellen

↑ Abram Bergson: A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics, Quarterly Journal of Economics, 52. Jahrgang 1938, 310-334
↑ Paul Samuelson: Foundations of Economic Analysis, Harvard University Press, Cambridge 1947, 221
↑ James E. Foster & Amartya Sen, 1997, On Economic Inequality, expanded edition with a substantial annexe, ISBN 0-19-828193-5
↑ Von Anthony B. Atkinson gibt es mehrere Ungleichverteilungsmaße.